Giải bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12. Dùng phương pháp chuyển đổi số, tính tích phân
Chủ đề
Sử dụng phương pháp chuyển đổi số, hãy tính tích phân:
a) (int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx) (Đặt (u= x ) +1))
b) (int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx) (Đặt (x = sint) )
c) (int_{0}^{1}frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}}dx) (Đặt (u = 1 + x. { e^x}))
d)(int_{0}^{frac{a}{2}}frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx) (Đặt (x ) = asint))
a) Đặt (u= x+1).
b) Đặt (x = sin).
c) Đặt (u = 1 + x. {e^x}).
d) Đặt (x= asint).
Lời giải cụ thể
a) Đặt (u= x+1 Rightarrow du = dx) và (x = u – 1).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow u = 1x = 3 Rightarrow u = 4end{array} right.)
(begin{array}{l}intlimits_0^3 {frac{{{x^2}}}{{{left( {1 + x} right)}^{frac{3 } {2}}}}}}dx} = intlimits_1^4 {frac{{{left( {u – 1} right)}^2}}}{{{u^{frac{ 3} {2}}}}}du} = intlimits_1^4 {frac{{{u^2} – 2u + 1}}{{{u^{frac{3}{2}}} }} du} = intlimits_1^4 {left( {{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}} + {u ^{ – frac{3}{2}}}} right)du} = left {left( {frac{2}{3}{u^{frac{3}{ 2}} } – 4{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}}} right)} right|_1^4 = – frac{{11}}{3} – left( { – frac{{16}}{3}} right) = frac{5}{3}end{array})
b) Đặt (x = sint), (0
và (sqrt{1-x^{2}}=sqrt{1-sin^{2}t}= sqrt{cos^{2}t}=left | cost right |= cos t. )
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{2}end{array} bên phải .)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} { sqrt {1 – {{sin }^2}t} cos tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^2}tdt} = frac{1}{2}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + cos 2t} right)dt} = frac{1}{2 }left. {left( {t + frac{{sin 2t}}{2}} right)} right|_0^{frac{pi }{2}}= frac{ 1}{2}.frac{pi }{2} = frac{pi }{4}end{array})
c) Đặt: (t = 1 + x. {e^x} Rightarrow dt = left( {{e^x} + x. {e^x}} right)dx = {e^x} trái( {1 + x} right)dx).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1x = 1 Rightarrow t = 1 + eend{array} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{{e^x}left( {1 + x} right)}}{{1 + x{e^x ) }}}dx} = intlimits_1^{1 + e} {frac{{dt}}{t}} = left. t right right|_1^{1 + e}= ln left( {1 + e} right) – ln 1 = ln left( {1 + e} right) kết thúc {mảng})
d) Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = frac{a}{2} Rightarrow t = frac{pi }{6 } end{mảng} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^{frac{a}{2}} {frac{1}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{sqrt {{a^2} – {a^2}{{ sin }^2}t} }}} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{a.cos t}} } = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt} = left.t right|_0^{frac{pi }{6}} = frac{pi }{ 6}end{mảng}).
[toggle title=”xem thêm thông tin chi tiết về Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12″ state=”close”]
Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Hình Ảnh về: Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Video về: Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Wiki về Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12 -
Giải bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12. Dùng phương pháp chuyển đổi số, tính tích phân
Chủ đề
Sử dụng phương pháp chuyển đổi số, hãy tính tích phân:
a) (int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx) (Đặt (u= x ) +1))
b) (int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx) (Đặt (x = sint) )
c) (int_{0}^{1}frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}}dx) (Đặt (u = 1 + x. { e^x}))
d)(int_{0}^{frac{a}{2}}frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx) (Đặt (x ) = asint))
a) Đặt (u= x+1).
b) Đặt (x = sin).
c) Đặt (u = 1 + x. {e^x}).
d) Đặt (x= asint).
Lời giải cụ thể
a) Đặt (u= x+1 Rightarrow du = dx) và (x = u – 1).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow u = 1x = 3 Rightarrow u = 4end{array} right.)
(begin{array}{l}intlimits_0^3 {frac{{{x^2}}}{{{left( {1 + x} right)}^{frac{3 } {2}}}}}}dx} = intlimits_1^4 {frac{{{left( {u – 1} right)}^2}}}{{{u^{frac{ 3} {2}}}}}du} = intlimits_1^4 {frac{{{u^2} – 2u + 1}}{{{u^{frac{3}{2}}} }} du} = intlimits_1^4 {left( {{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}} + {u ^{ – frac{3}{2}}}} right)du} = left {left( {frac{2}{3}{u^{frac{3}{ 2}} } – 4{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}}} right)} right|_1^4 = – frac{{11}}{3} – left( { – frac{{16}}{3}} right) = frac{5}{3}end{array})
b) Đặt (x = sint), (0
và (sqrt{1-x^{2}}=sqrt{1-sin^{2}t}= sqrt{cos^{2}t}=left | cost right |= cos t. )
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{2}end{array} bên phải .)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} { sqrt {1 – {{sin }^2}t} cos tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^2}tdt} = frac{1}{2}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + cos 2t} right)dt} = frac{1}{2 }left. {left( {t + frac{{sin 2t}}{2}} right)} right|_0^{frac{pi }{2}}= frac{ 1}{2}.frac{pi }{2} = frac{pi }{4}end{array})
c) Đặt: (t = 1 + x. {e^x} Rightarrow dt = left( {{e^x} + x. {e^x}} right)dx = {e^x} trái( {1 + x} right)dx).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1x = 1 Rightarrow t = 1 + eend{array} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{{e^x}left( {1 + x} right)}}{{1 + x{e^x ) }}}dx} = intlimits_1^{1 + e} {frac{{dt}}{t}} = left. t right right|_1^{1 + e}= ln left( {1 + e} right) – ln 1 = ln left( {1 + e} right) kết thúc {mảng})
d) Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = frac{a}{2} Rightarrow t = frac{pi }{6 } end{mảng} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^{frac{a}{2}} {frac{1}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{sqrt {{a^2} – {a^2}{{ sin }^2}t} }}} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{a.cos t}} } = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt} = left.t right|_0^{frac{pi }{6}} = frac{pi }{ 6}end{mảng}).
[rule_{ruleNumber}]
[box type=”note” align=”” class=”” s14 lineheight”>Giải bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12. Dùng phương pháp biến đổi số, tính tích phân
Chủ đề
Sử dụng phương pháp biến đổi số, hãy tính tích phân:
a) (int_{0}^{3}frac{x^{2}}{(1+x)^{frac{3}{2}}}dx) (Đặt (u= x ) +1))
b) (int_{0}^{1}sqrt{1-x^{2}}dx) (Đặt (x = sint) )
c) (int_{0}^{1}frac{e^{x}(1+x)}{1+xe^{x}}dx) (Đặt (u = 1 + x. { e^x}))
d)(int_{0}^{frac{a}{2}}frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx) (Đặt (x ) = asint))
a) Đặt (u= x+1).
b) Đặt (x = sin).
c) Đặt (u = 1 + x. {e^x}).
d) Đặt (x= asint).
Lời giải chi tiết
a) Đặt (u= x+1 Rightarrow du = dx) và (x = u – 1).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow u = 1x = 3 Rightarrow u = 4end{array} right.)
(begin{array}{l}intlimits_0^3 {frac{{{x^2}}}{{{left( {1 + x} right)}^{frac{3 } {2}}}}}}dx} = intlimits_1^4 {frac{{{left( {u – 1} right)}^2}}}{{{u^{frac{ 3} {2}}}}}du} = intlimits_1^4 {frac{{{u^2} – 2u + 1}}{{{u^{frac{3}{2}}} }} du} = intlimits_1^4 {left( {{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}} + {u ^{ – frac{3}{2}}}} right)du} = left {left( {frac{2}{3}{u^{frac{3}{ 2}} } – 4{u^{frac{1}{2}}} – 2{u^{ – frac{1}{2}}}} right)} right|_1^4 = – frac{{11}}{3} – left( { – frac{{16}}{3}} right) = frac{5}{3}end{array})
b) Đặt (x = sint), (0
và (sqrt{1-x^{2}}=sqrt{1-sin^{2}t}= sqrt{cos^{2}t}=left | cost right |= cos t. )
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{2}end{array} bên phải .)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} { sqrt {1 – {{sin }^2}t} cos tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^2}tdt} = frac{1}{2}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + cos 2t} right)dt} = frac{1}{2 }left. {left( {t + frac{{sin 2t}}{2}} right)} right|_0^{frac{pi }{2}}= frac{ 1}{2}.frac{pi }{2} = frac{pi }{4}end{array})
c) Đặt: (t = 1 + x. {e^x} Rightarrow dt = left( {{e^x} + x. {e^x}} right)dx = {e^x} trái( {1 + x} right)dx).
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 1x = 1 Rightarrow t = 1 + eend{array} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^1 {frac{{{e^x}left( {1 + x} right)}}{{1 + x{e^x ) }}}dx} = intlimits_1^{1 + e} {frac{{dt}}{t}} = left. t right right|_1^{1 + e}= ln left( {1 + e} right) – ln 1 = ln left( {1 + e} right) kết thúc {mảng})
d) Đặt (x = asin t Rightarrow dx = acos tdt)
Thay đổi giới hạn: (left{ begin{array}{l}x = 0 Rightarrow t = 0x = frac{a}{2} Rightarrow t = frac{pi }{6 } end{mảng} right.)
(begin{array}{l}Rightarrow intlimits_0^{frac{a}{2}} {frac{1}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{sqrt {{a^2} – {a^2}{{ sin }^2}t} }}} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{acos tdt}}{{a.cos t}} } = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt} = left.t right|_0^{frac{pi }{6}} = frac{pi }{ 6}end{mảng}).
[/box]
#Bài #trang #SGK #Giải #tích
[/toggle]
Bạn thấy bài viết Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12 bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Môn toán
#Bài #trang #SGK #Giải #tích
Trả lời