Công thức nguyên thủy một phần
Phương pháp nguyên hàm từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức như chứa cả hàm vô tỉ và hàm lượng giác, chứa hàm logarit và hàm vô tỉ, hàm mũ, v.v.
Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính nguyên hàm riêng như sau:
một phần nguyên thủy là gì?
Cho hai hàm u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K, ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm: Hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ.
Để tính nguyên hàm ∫f(x).g(x)dx từng phần ta làm như sau:
– Bước 1. Đặt
#M862105ScriptRootC1420804 { chiều cao tối thiểu: 300px; }
(trong đó G(x) là bất kỳ nguyên hàm nào của hàm g(x))
– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.
Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc của việc đặt u.
Nhật ký đầu tiên (log hàm, ln) – Poly thứ hai (hàm đa thức)
Lượng giác (hàm số lượng giác) – Bậc hai (cấp số nhân)
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu trên ta sẽ đặt u bằng hàm số đó. Bài tập:
- Nếu f(x) là một hàm log và g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt
- Tương tự, nếu f(x) là một hàm mũ và g(x) là một hàm đa thức, chúng ta sẽ đặt
Một số loại hàng nguyên bộ một phần phổ biến
Dạng 1: I = ∫P(x)ln(mx+n)dx, trong đó P(x) là một đa thức.
Theo các quy tắc chúng tôi đặt ra
Mẫu 2:
trong đó P(x) là một đa thức.
Theo các quy tắc chúng tôi đặt ra
Dạng 3: I = P(x)eax+bdx, trong đó P(x) là một đa thức
Theo các quy tắc chúng tôi đặt ra
Mẫu 4:
Theo các quy tắc chúng tôi đặt ra
Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số sau f(x) = lnx
Câu trả lời
Dựa vào phương pháp trên ta làm như sau:
Bước 1: Đầu tiên chúng ta cần đặt
Sau đó:
Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit
Tính nguyên hàm của hàm logarit sau
trong đó f(x) là một hàm của đa thức.
phương pháp giải
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào điều trên, ta suy ra
Để hiểu rõ hơn về hình thức này, chúng ta cùng làm một ví dụ dưới đây:
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx
Câu trả lời
Dựa vào phương pháp giải trên bạn có thể dễ dàng nhận thấy
Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức có dạng
Bước 2: Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ
Đạo hàm của hàm mũ A=∫f(x)eax+b dx trong đó f(x) là một hàm đa thức.
Phương pháp:
– Bước 1: Ta tiến hành đặt
– Bước 2: Dựa vào cách đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv–∫vdu
Để hiểu rõ hơn về dạng toán này, các em cùng xem ví dụ sau
Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức sau I=∫xexdx
Câu trả lời
Dựa vào phương pháp trên ta tiến hành đặt
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm số đa thức
Tính nguyên hàm của hàm lượng giác
Câu trả lời
– Bước 1: Ta tiến hành thiết lập như sau
– Bước 2: Dựa vào thiết lập ở bước 1, ta biến đổi thành
Để hiểu rõ hơn về ví dụ này, chúng ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx
Câu trả lời
Đây là một tổ hợp nguyên hàm của các số nguyên lượng giác, hãy làm như sau:
Dựa trên phương pháp trên, chúng tôi thiết lập như sau
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm mũ
Tính nguyên hàm tổng hợp của hàm lượng giác và hàm mũ
Các bước giải như sau:
– Bước 1: Ta tiến hành thiết lập như sau
– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ được tính theo công thức chung uv–∫vdu
Lưu ý: Đây là dạng toán phức hợp nên cần lấy nguyên hàm từng phần hai lần. Ngoài ra ở bước 1 chúng ta có thể thiết lập khác đi một chút bằng cách thiết lập
Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về dạng toán này, mời các bạn theo dõi một ví dụ dưới đây:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hai hàm lượng giác và hàm mũ sau I=∫sinx.exdx
Câu trả lời
Đây là một nguyên hàm kết hợp của các số nguyên lượng giác và số mũ của e đến u. Vui lòng làm như sau:
Chúng tôi tiến hành như sau
Sau đó, nguyên thủy trở thành:
Bây giờ chúng ta tính: J=∫cosx.ex.dx
Để tính J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. cụ thể là,
Đặt như sau
Sau đó:
Đăng bởi: Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Lớp 12 , Toán 12
Bạn thấy bài viết Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất bên dưới để Trường THPT Trần Hưng Đạo có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website của Trường Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Giáo dục
Trả lời