Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chủ đề
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (tan x>x left( 0
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
+) Chuyển tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái rồi so sánh hàm (yleft( x right)) với 0.
+) Tính đạo hàm hàng đầu của hàm số (yleft( x right)) và xét hàm số (yleft( x right)) trên các khoảng bài toán đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải cụ thể
a) (tan x>x left( 0
Xét hàm: (y=fleft( x right)=tan xx) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y’=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1=frac{1-{{cos }^{2}}x}{{{ cos }^{2}}x}=frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}={{tan }^{2}}x >0forall xin left( 0;frac{pi }{2} right))
Vậy hàm luôn đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right).)
(Rightarrow forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) text{ta có} , fleft( x right)>fleft( 0 phải) Leftrightarrow tan xx>tan 0-0 Leftrightarrow tan xx>0 Leftrightarrow tan x>x left( dpcm right).)
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
Xét hàm: (y=gleft( x right)=tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y’=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{tan }^{2} }x-1-{{x}^{2}} ={{tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=left( tan xx right)left ( tan x+x right).)
Với (forall xin left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow tan x>0) nên ta có: (tan x+x>0) và (tan xx>0) (theo câu a) (Rightarrow y’>0,,forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) )
Vậy hàm (y=gleft( x right)) đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow gleft( x right)> g trái( 0 phải).)
(Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}>tan 0-0-0 Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3 }}}{3}>0 Leftrightarrow tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( dpcm right).)
[toggle title=”xem thêm thông tin chi tiết về Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12″ state=”close”]
Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Hình Ảnh về: Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Video về: Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Wiki về Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12
Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12 -
Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chủ đề
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (tan x>x left( 0
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
+) Chuyển tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái rồi so sánh hàm (yleft( x right)) với 0.
+) Tính đạo hàm hàng đầu của hàm số (yleft( x right)) và xét hàm số (yleft( x right)) trên các khoảng bài toán đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải cụ thể
a) (tan x>x left( 0
Xét hàm: (y=fleft( x right)=tan xx) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1=frac{1-{{cos }^{2}}x}{{{ cos }^{2}}x}=frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}={{tan }^{2}}x >0forall xin left( 0;frac{pi }{2} right))
Vậy hàm luôn đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right).)
(Rightarrow forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) text{ta có} , fleft( x right)>fleft( 0 phải) Leftrightarrow tan xx>tan 0-0 Leftrightarrow tan xx>0 Leftrightarrow tan x>x left( dpcm right).)
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
Xét hàm: (y=gleft( x right)=tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y'=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{tan }^{2} }x-1-{{x}^{2}} ={{tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=left( tan xx right)left ( tan x+x right).)
Với (forall xin left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow tan x>0) nên ta có: (tan x+x>0) và (tan xx>0) (theo câu a) (Rightarrow y'>0,,forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) )
Vậy hàm (y=gleft( x right)) đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow gleft( x right)> g trái( 0 phải).)
(Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}>tan 0-0-0 Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3 }}}{3}>0 Leftrightarrow tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( dpcm right).)
[rule_{ruleNumber}]
[box type=”note” align=”” class=”” s14 lineheight”>Giải bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Chủ đề
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (tan x>x left( 0
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
+) Chuyển tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái rồi so sánh hàm (yleft( x right)) với 0.
+) Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số (yleft( x right)) và xét hàm số (yleft( x right)) trên các khoảng bài toán đã cho.
+) Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Lời giải chi tiết
a) (tan x>x left( 0
Xét hàm: (y=fleft( x right)=tan xx) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y’=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1=frac{1-{{cos }^{2}}x}{{{ cos }^{2}}x}=frac{{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}={{tan }^{2}}x >0forall xin left( 0;frac{pi }{2} right))
Vậy hàm luôn đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right).)
(Rightarrow forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) text{ta có} , fleft( x right)>fleft( 0 phải) Leftrightarrow tan xx>tan 0-0 Leftrightarrow tan xx>0 Leftrightarrow tan x>x left( dpcm right).)
b) (tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( 0
Xét hàm: (y=gleft( x right)=tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}) với (xin left( 0; frac{pi }{2} right).)
Ta có: (y’=frac{1}{{{cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}=1+{{tan }^{2} }x-1-{{x}^{2}} ={{tan }^{2}}x-{{x}^{2}}=left( tan xx right)left ( tan x+x right).)
Với (forall xin left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow tan x>0) nên ta có: (tan x+x>0) và (tan xx>0) (theo câu a) (Rightarrow y’>0,,forall xin left( 0;frac{pi }{2} right) )
Vậy hàm (y=gleft( x right)) đồng biến trên (left( 0;frac{pi }{2} right)Rightarrow gleft( x right)> g trái( 0 phải).)
(Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3}}}{3}>tan 0-0-0 Leftrightarrow tan xx-frac{{{x}^{3 }}}{3}>0 Leftrightarrow tan x>x+frac{{{x}^{3}}}{3} left( dpcm right).)
[/box]
#Bài #trang #SGK #Giải #tích
[/toggle]
Bạn thấy bài viết Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bài 5 trang 10 SGK Giải tích 12 bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Môn toán
#Bài #trang #SGK #Giải #tích
Trả lời