Thế nào là một tứ giác nội tiếp? Nêu tính chất của tứ giác nội tiếp? Định lý tứ giác nội tiếp? Đặc điểm nhận dạng? Các dạng toán thường gặp? Bài tập ứng dụng?
Trong hình học phẳng, tứ giác nội tiếp là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình học lớp 9. Vấn đề là làm thế nào để chứng minh một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Hãy cùng tìm hiểu về các định lí, tính chất, cách nhận diện và cả cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
1. Thế nào là tứ giác nội tiếp?
Khái niệm: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác ngoại tiếp (gọi là tứ giác nội tiếp). Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và các đỉnh của tứ giác được gọi là bằng nhau. Tâm của hình tròn gọi là tâm của hình tròn, bán kính của hình tròn gọi là bán kính của hình tròn.
Ví dụ: Trong hình a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O vì bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên đường tròn tâm O.
Trong hình b) tứ giác MNPE ko phải là tứ giác nội tiếp vì có một điểm E ko nằm trên đường tròn tâm O.
2. Tính chất của tứ giác nội tiếp:
Một tứ giác nội tiếp có các tính chất sau:
Thứ nhất, Mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp, nhưng ko phải tứ giác nào cũng nội tiếp.
Thứ hai, tâm đường tròn nội tiếp tứ giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tứ giác. Nói cách khác, nếu một tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định nhưng ta xác định được thì điểm đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Thứ ba, Nếu tứ giác nội tiếp có hai góc đối diện là góc vuông thì tâm đường tròn là trung điểm của đường chéo nối hai đỉnh còn lại.
Thứ tư, Nếu một tứ giác có hai góc vuông nội tiếp chứa một cạnh chứa hai đỉnh còn lại thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh có hai góc chứa hai cạnh đó.
3. Định lý tứ giác nội tiếp:
Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối đỉnh bằng 180º.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có 4 đỉnh nằm trên đường tròn tâm O. Chứng minh rằng: góc A + góc C = 180º và góc B + góc D = 180º
Ta có: Góc A là góc nội tiếp chắn cung BCD => Góc A = 1/2 cung BCD.
Góc C là góc nội tiếp cung BAD => Góc C = 1/2 cung BAD.
Do đó: Góc A + góc C = 1/2 cung BCD + 1/2 cung BAD.
Góc A + góc C = 1/2 (cung BCD + cung BAD)
Góc A + Góc C = 1/2,360º
Góc A + Góc C = 180º
Ta có: Góc B là góc nội tiếp chắn cung ADC => Góc B = 1/2 cung ADC
Góc D là góc nội tiếp chắn cung ABC => Góc D = 1/2 cung ABC
Do đó: Góc B + góc D = 1/2 cung ADC + 1/2 cung ABC
Góc B + Góc D = 1/2 (Cung ADC + Cung ABC)
Góc B + Góc D = 1/2,360º
Góc B + Góc D = 180º
Kết luận: Góc A + góc C = 180º và Góc B + góc D = 180º.
Định lý đảo ngược: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180º thì tứ giác đó nội tiếp trong một đường tròn.
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có góc B + góc D = 180º. Vì các điểm A, B, C ko thẳng hàng nên ta vẽ đường tròn tâm O đi qua ba điểm A, B, C. Lúc đó, hai điểm A, C chia đường tròn tâm O thành hai cung ABC và AmC.
Ta có: góc AmC là cung chứa góc (180º – góc B) dựng trên đoạn thẳng AC.
Từ giả thiết, hãy kết luận: góc D = 180º – góc B
Kết luận: Vậy điểm D nằm trên cung AmC => Tứ giác ABCD có 4 đỉnh nằm trên đường tròn tâm O.
4. Tín hiệu nhận diện:
Một hình vuông có tổng hai góc đối diện là 180º.
Ví dụ: Góc A + góc C = 180º nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
Tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.
Ví dụ: OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp tâm O.
Một hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông có thể được nội tiếp bởi một hình tròn.
Ví dụ: Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có góc ngoài D1 = góc B nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại một góc bằng nhau.
Ví dụ: Tứ giác ABCD có hai góc A1 và góc B1 có cùng cạnh DC và góc A1 = góc B1 nên tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O.
5. Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp.
– Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 180º.
– Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm.
– Cách 3: Chứng minh góc ngoài của tứ giác có một đỉnh bằng góc trong của tứ giác có đỉnh đối diện.
– Cách 4: Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đường thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song và đồng quy, hai tam giác đồng dạng, quan hệ giữa các cạnh, v.v.
6. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp trong đường tròn.
b) HD.HA = HE.HB = HF.HC.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: góc BEC = góc BFC = 90º.
=> Các điểm E, F nằm trên đường tròn đường kính BC.
=> Tứ giác BCEF nội tiếp trong đường tròn.
b) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC.
Xét tam giác BHF và tam giác CHE, ta có:
– Góc EBF = góc ECF (có 2 góc nội tiếp bị chắn)
– Góc FHB = góc EHC (là hai góc đối đỉnh)
=> Tam giác BHF = tam giác CHE.
Ta có: BH/CH = HF/HE hay HE.HB = HF.HC (1)
Chứng minh tương tự như trên ta có: HD.HA = HE.HB (2)
Từ (1) và (2) => HD.HA = HE.HB = HF.HC (điều phải chứng minh).
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đoạn thẳng OA lấy điểm M, trên nửa đường tròn (O) lấy điểm N. Từ các điểm A, B kẻ các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm N kẻ đường thẳng vuông góc với NM và cắt các tia Ax, By tuần tự tại C, D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ACNM và tứ giác BDNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn.
b) Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD.
c) Tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải:
a) Xét tứ giác ACNM, ta có: góc MNC = 90° (theo tính chất tiếp tuyến)
=> góc MNC + góc MAC = 180° . Suy ra tứ giác ACNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính MC.
Xét tứ giác BDNM, ta có: góc MND = 90º
=> góc MND + góc MBD = 180º. Suy ra tứ giác BDNM là tứ giác nội tiếp trong đường tròn đường kính MD.
b) Xét tam giác ANB và tam giác CMD, ta có: góc ABN = góc CDM (tứ giác BDNM nội tiếp) và góc BAN = góc DCM (tứ giác ACNM nội tiếp)
Suy ra tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD.
c) Xét tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD, ta có: góc CMD = góc ANB = 90° (vì góc ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)
=> góc IMK = góc INK = 90°. Suy ra: góc INK + góc IMK = 180°
Kết luận: Vậy tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn có IK là đường kính.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D. Hình chiếu của điểm D trên BC là điểm E, điểm F là điểm đối xứng của điểm E qua BD. Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Tìm tâm O của đường tròn.
Hướng dẫn giải:
Ta có: DE vuông góc với BC. Suy ra: góc DBE = 90°
Vì E và F đối xứng nhau qua BD => BD là trung trực của đoạn thẳng EF => BE = BF và DE = DF.
Vì tam giác BFD = tam giác BED. Suy ra: góc BFD = góc BED = 90°
Gọi O là trung điểm của BD => OB = OD.
Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến => AO = 1/2 BD = OB = OD (1)
Xét tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến => EO = 1/2 BD = OB = OD (2)
Xét tam giác vuông BFD vuông tại F có trung tuyến OF => FO = 1/2 BD = OB = OD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: OA = OB = OD = OE = OF
Kết luận: Vậy 5 điểm A, B, E, D, F nằm trên đường tròn tâm O và O là trung điểm của BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, góc A > góc B > góc C. Đường tròn nội tiếp tâm I xúc tiếp với các cạnh AB, AC tuần tự tại các điểm M, N. Gọi các điểm P, Q tuần tự là các điểm P, Q. Giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Hãy chứng minh rằng:
a) Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn giải:
a) Vì đường tròn tâm I xúc tiếp với các cạnh AB, AC tuần tự tại các điểm M, N nên AM = AN
=> Tam giác AMN cân tại A.
Ta có: góc CNQ = góc ANM (hai góc đối đỉnh)
= (180o – góc A)/2 = (góc B + góc C)/2
= góc IBC + góc ICB = góc CIQ
Trong tứ giác INQC có hai điểm I, N liên tục nhìn cạnh QC những góc bằng nhau nội tiếp đường tròn. => Tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp.
b) Vì tứ giác INQC là tứ giác nội tiếp => góc INC = góc IQC
Vì AC xúc tiếp với đường tròn tâm I tại điểm N => IN AC hay góc INC = 90º => góc IQC = 90o (1)
Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp => góc IMB = góc IPB = 90º (2)
Từ (1) và (2) => góc BPC = góc BQC = 90o => Tứ giác BPQC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bạn thấy bài viết Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn? có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn? bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Kiến thức chung
Nguồn: thpttranhungdao.edu.vn
Trả lời