1. Số phức là gì?
Số phức là số viết được dưới dạng a, b là số thực và đơn vị ảo
Trong biểu thức này, số a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo, do đó số phức a + b được xác định bởi một điểm có tọa độ (a, b).
Nếu một số phức có phần thực bằng 0 thì đó là số ảo thuần túy; nếu nó có phần ảo bằng 0 thì nó trở thành số thực. Khai triển số phức để giải các bài toán không thể giải được trong lĩnh vực số thực’
– Công thức lượng giác
– Diện tích hình tam giác
Số phức có dạng a +bia +bi
Với: a,b là số thực
nó là đơn vị ảo
Với i2 = -1
i2 = -1
Nếu lấy phần thực của số phức thì đó là a. Nếu lấy phần ảo của số phức thì đó là b.
Ví dụ: Số phức:
2 + 3i thì phần thực là 2; phần ảo là 3
4,4 = 4,4 + 0i thì trong trường hợp này hệ số b của đơn vị ảo là 0
Vì vậy, chúng ta có thể thấy rằng số phức là trường hợp tổng quát hơn của số hữu tỷ. Số thực là trường hợp cụ thể của số phức (khi b = 0).
2. Lý thuyết số phức:
* Liên hợp số phức:
Định nghĩa: Số phức liên hợp có dạng: Z = a + bi trong đó số phức
được gọi là liên hợp phức của Z
Số phức liên hợp có các tính chất sau:
Zx
= a2 + b2 là số thực
Z+ = 2a là số thực
+ =
*Nghịch đảo số phức:
Có thể nói, nghịch đảo số phức hay nghịch đảo của số phức Z, ký hiệu là Z -1, là số phức có dạng sao cho tích của số phức nghịch đảo với số phức Z bằng 1.
– Dạng nghịch đảo số phức của Z = a +bi là số phức Z -1 = 1/Z + 1/x +bi
Nghịch đảo của Z = a +bi trừ 0 là số Z -1 = 1/Z =
* Số phức thuần ảo:
ĐỊNH NGHĨA: số phức thuần ảo là số có phần thực a = 0 thì Z = bi thuộc R. Khi đó Z được gọi là số ảo thuần túy.
* Mô đun số phức:
Mô đun của số phức Z = a +bi là độ dài của vectơ u(a,b) biểu diễn số phức đó.
Theo một nghĩa khác, số phức modulo Z = a +bi trong đó a,b thuộc R là căn bậc hai của số học a2 + b2
Ví dụ: 3 +4i = 25
3 +4i = 5
Chúng ta dễ dàng nhận thấy giá trị tuyệt đối của một số thực cũng chính là mô đun của số thực đó. Vì vậy, đôi khi chúng ta cũng có thể gọi mô đun của số phức là giá trị tuyệt đối của số phức.
Về mặt hình học, mọi số phức Z = a +bi có a,b thuộc R được biểu diễn bằng một điểm M(z) = (a,b) trên mặt phẳng O(xy) và ngược lại. Khi đó module của Z được biểu diễn bằng độ dài đoạn thẳng OM(z). Môđun của z là số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi z = 0
3. Một số bài tập cơ bản về số phức:
Dạng 1: Các dạng định vị đơn giản cơ bản:
Đường thẳng: Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x +yi là đường thẳng nếu M (x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng: Ãx +By + C = 0
Đường tròn: Quỹ tích các điểm M biểu thị số phức z = x + yi là đường tròn nếu M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường tròn (C): (x – a) 2 + (b -y) 2 = R2. Trong đó I(a;b) là tâm đường thẳng trong và R là bán kính đường tròn.
Hình elip: quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z = x +yi là hình elip nếu M(x; y) có tọa độ thỏa mãn phương trình elip (E): x2/a2 + y2/b2 = 1 trong đó a,b ứng với bán trục lớn và bán trục nhỏ của elip
Loại 2: Bài tập tìm phần thực hoặc phần ảo của số phức
Chúng ta biến đổi số thực đã cho thành z = a + bi trong đó a và b là các số thực. Khi đó a là phần thực của z và b là phần ảo của z. Chú ý các bài toán phwusc hỏi về phần ảo, mọi người thường bị nhiễu nhiều.
Loại 3: Dạng bài tập số phức có số mũ cao
Cách tính số phức có lũy thừa cao là sử dụng dạng lượng giác hoặc hàm mũ của số phức. Với dạng lượng giác của số phức ta áp dụng công thức sau:
Loại 4: Bài tập số phức liên quan đến phương trình bậc hai có hệ số thực
Với phương trình bậc hai có hệ số thực trên số phức, chúng tôi chia thành 2 nhóm: Nhóm bài tập liên quan đến tìm nghiệm và nhóm bài tập liên quan đến định lý Việt. Thông thường, với các phương trình không có tham số, chúng ta sử dụng máy tính bỏ túi để tính kết quả, còn nếu có tham số thì chúng ta tính delta và thay vào công thức nghiệm hoặc dùng định lý Việt.
Câu 1: Xác định phần thực và phần ảo của số phức sau:
Một. z = -3 + 5i
b. z = 12
c. z =( 4 -i) + (2 +3i)
d. z = (2 + i) – (1 +4i)
đ. z = (11 – 6i) – (2 – 4i)
f. z = (1 + i) 2 – (1 -i) 2
g. z =( 11 – 6i) – (2 -i)
Câu 2: Tìm các số thực x, y biết:
Một. (2x + 1) + 5i = -4 + (3y -2)i
b. ( x -2) – 4i = 3 -( y _ i)
Câu 3: Viết các liên hợp sau của mỗi số phức và tính mô đun của chúng
Một. z = 2 – 5i
b. z = 7i
c. x = 6 +i
d. z = 4 -i
Câu 4: Viết các số phức sau dưới dạng đại số
Một. z = 1/ (i +1) + (4 -3i)
b. z = 1/2 -3i
c, z = 3=4i/ 4-i
d. a = 1 / 2-3i
Câu 5: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
Một. Phần thực của z gấp đôi phần ảo của nó
b. Phần thực của z thuộc đoạn [ -2; 1]
c. Phần thực của z thuộc đoạn [-2; 1] và phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]
Câu 6: Cho số phức z = a + bi. Hỏi a và b phải thỏa mãn điều kiện nào
Một. Điểm chứng minh nằm ở khoảng giữa hai đường thẳng x = -2 và x =2
b. Điểm biểu diễn chúng nằm trong khoảng giữa hai đường thẳng y = -3i và y = 3i
c. Điểm biểu diễn chúng nằm trong hình ở tâm O, bán kính 2
Câu 7: Trên mặt tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
Một. Phần thực của z là 2
b. Phần ảo của z nằm trong khoảng (-1; 3).
c. Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2]
Câu 8: Tính giá trị của biểu thức T = x + y khi biết x và y là số thực sao cho ( x + i) ( 1 + yi) – (2 + 3yi) là số ảo thuần túy và ( 2x -3 ) (i + 1) – 3 + y là số thực
Câu 9: Tìm số phức liên hợp của số phức: z = i (3i + 1)
Câu 10: Cho số z = a +bi với a và b thuộc R thỏa mãn (1 + i) z + 2 z = 3 + 2i. Tính P = a + b
Câu 11: Cho số phức z = a + bi với a và b thuộc R. Biết rằng tập hợp các điểm A về mặt hình học biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I(4,3) và bán kính R = 3. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của F = 4a + 3b -1. Tính giá trị của M + m
Cho số phức z = a + bi và
. Câu sau đây có đúng không?
A. w là số thực B .w = 2
Cw là một số ảo thuần túy. Dw = tôi
Bạn thấy bài viết Số phức là gì? Lý thuyết số phức và các dạng bài tập? có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về Số phức là gì? Lý thuyết số phức và các dạng bài tập? bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Kiến thức chung
Nguồn: thpttranhungdao.edu.vn
Trả lời