Tìm hiểu ý nghĩa, công thức và cách sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng để giải các bài tập từ cơ bản tới tăng lên. Trong quá trình học phần toán tổ hợp, việc hiểu ý tức là phần cực kì quan trọng. Do đó bài viết này rất quan trọng đối với những người học nhập môn.
Xuất xứ Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thuộc toán học tổ hợp – một ngành toán học rời rạc. Nghiên cứu về cấu hình liên kết các phần tử của một tập trung hữu hạn phần tử. Phần tri thức này liên quan tới nhiều lĩnh vực khác của toán học như đại số, xác suất,… và ứng dụng trực tiếp tới khoa học máy tính cung như vật lý thống kê. [1]Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/2022
Giai thừa
1.1. Khái niệm
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đều được trình diễn công thức có liên quan tới giai thừa. Do đó việc tìm hiểu lý thuyết giai thừa trước tiên là lẽ đương nhiên.
Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta khái niệm n giai thừa, ký hiệu bởi n! là:
n! = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1
Khái niệm: Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập trung các số tự nhiên. [2]Wikipedia, Giai thừa, 10/06/2022
1.2. Tính chất
Giai thừa có các tính chất sau đây:
+) n! = n.(n − 1)! = n.(n − 1).(n − 2)! = n.(n − 1).(n − 2)…..2.1
+) Quy ước 0! = 1.
Hoán vị
2.1. Khái niệm hoán vị
Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
Các hoán vị không giống nhau chỉ không giống nhau về trật tự sắp xếp các phần tử.
Khái niệm: Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó. [3]Wikipedia, Hoán vị, 24/12/2021
2.2. Ví dụ
Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c; …
2.3. Số các hoán vị
Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:
Pn = n! = n.(n − 1).(n − 2) … 2.1.
Chỉnh hợp
3.1. Khái niệm
Cho tập trung S gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập trung S và sắp xếp chúng theo một trật tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Khái niệm: Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự. [4]Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/2021
3.2. Định lí
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là:
3.3. Phương pháp giải
Lúc giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 tín hiệu sau:
+) Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X (1 ≤ k ≤ n).
+) Có sắp trật tự các phần tử đã chọn.
Tổ hợp
4.1. Khái niệm tổ hợp
Cho tập trung A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Ký hiệu
.
Khái niệm: Như đã giới thiệu ở phần trước, tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự. [5]Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
4.2. Định lý
Số tổ hợp chập k của một tập trung có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là
Với quy ước
thì với mọi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ n ta có
4.3. Tính chất
với 0 ≤ k ≤ n.
4.4. Công thức Pascal
với 1 ≤ k ≤ n.
Phân dạng bài tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Dạng 1: Ứng dụng công thức (Thông hiểu)
Ví dụ 1: Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế? ĐS: P3 = 3! = 6
Lời giải
Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của 3 bạn.
Tương tự ta có số cách xếp chỗ là P3 = 3! = 6 cách.
Ví dụ 2: Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau
a) Các quyển sách được xếp tùy ý?
ĐS: P12
b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
ĐS: P5.P4.P3.P3
Lời giải
a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có P12 cách xếp.
b) Vì các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là một phần tử, tương tự ta có P3 cách xếp.
Ngoài ra trong từng môn, ta cũng có hoán vị của từng cuốn sách, do đó ta có P5.P4.P3 cách xếp.
Vậy ta có P5.P4.P3.P3 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 3: Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bàn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách xếp 3 bận trong 5 bạn vào một bàn dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên ta có
cách.
Ví dụ 4: Chp tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho.
a) Đôi một không giống nhau? ĐS:
b) Số tự nhiên lẻ và đôi một không giống nhau? ĐS:
Lời giải
a) Mỗi cách chọn 4 số không giống nhau từ 7 số là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Do đó ta có
số được tạo thành.
b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, lúc đó ta có 4 cách chọn chữ số tận cùng.
Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có
cách.
Vậy có
số được tạo thành.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đoàn có 14 đoàn viên? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người là một tổ hợp chập 3 của 14 nên ta có
cách.
Ví dụ 6: Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán 4 đội bóng vào chung kết? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách dự đoán 4 đội vào chung kết là một tổ hợp chập 4 của 24 nên ta có
cách.
Ví dụ 7: Một lớp học có 30 học trò, cần lập ra một tổ công việc gồm 5 học trò. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập ra tổ công việc là một tổ hợp chập 5 của 30 nên ta có
cách.
Ví dụ 8: Trong ko gian, cho tập trung X gồm 10 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? ĐS:
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? ĐS:
Lời giải
a) Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2 điểm trong 10 điểm nên số đường thẳng được tạo thành là
.
b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3 điểm trong 10 điểm nên số tam giác được tạo thành là
.
Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (Vận dụng)
2.1. Phương pháp giải
+) Bước 1: Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau:
+) Bước 2: Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến.
+) Bước 3: So với điều kiện để nhận những trị giá cần tìm.
2.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức
.
ĐS:
Lời giải
Ví dụ 2: Giải phương trình
ĐS: n = 8
Lời giải
Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ ℕ
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) P2. x2 – P3. x = 8
ĐS: x = –1 hoặc x = 4
b)
ĐS: n = 8
c)
ĐS: x = 3
d)
ĐS: x = 3
e)
ĐS: x = 8
Lời giải
a) P2.x2 − P3.x = 8 ⇔ 2!. x2 − 3!. x − 8 = 0 ⇔ 2x2 − 6x − 8 = 0 ⇔
b) Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ
c) Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
d) Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ ℕ
e) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Ví dụ 4: Giải phương trình
ĐS: x = 3
Lời giải
Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
ĐS: n = 3 hoặc n = 4
b)
ĐS: n = 3
c)
ĐS: x = 2
Lời giải
a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 5, n ∈ ℕ hay n = 3 hoặc n = 4.
b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 4, n ∈ ℕ hay n = 3.
c) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 2 ≤ x <
, x ∈ ℕ hay x = 2.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
a)
ĐS: x = 5; y = 2
b)
ĐS: x = 8; y = 3
c)
ĐS: x = 7; y = 4
Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
b) Điều kiện: x ≥ y + 1, y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
c) Điều kiện: x ≥ y, y ≥ 2, x, y ∈ ℕ.
Dạng 3: Các bài toán sử dụng hoán vị (Vận dụng)
3.1. Phương pháp giải
Nhắc lại ý nghĩa của hoán vị: Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
3.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học trò A, B, C, D, E vào một ghế sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
ĐS: 24
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: 12
Lời giải
a) Xếp bạn C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp 4 bạn còn lại vào 4 vị trí còn lai: có 4! cách.
Vậy có 1 × 4! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Xếp hai bạn A và E ở hai đầu ghế: có 2! cách.
Xếp 3 bạn còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 3! cách.
Vậy có 2! × 3! = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học trò đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400
Lời giải
Chưa kể trật tự giữa 5 em trong nhóm “định trước”, để xếp 5 em này đúng kề nhau ta có 8! cách xếp;
Lại có 5! cách xếp 5 em này.
Vậy có tất cả 5! × 8! = 4838400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều không giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên.
a) Một cách tùy ý.
ĐS: 479001600
b) Theo từng môn?
ĐS: 103680
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
ĐS: 34560
Lời giải
a) Trên kệ có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.
Mỗi cách xếp thự tự 12 quyển sách chính là một hoán vị của 12 phần tử.
Do đó có tất cả 12! = 479001600 cách xếp.
b) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 3! cách xếp 3 khối này.
Có 5! cách xếp sách toán, có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Vậy có tất cả 3! × 5! × 4! × 3! = 103680 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 2! cách xếp hai môn còn lai ở hai bên sách Toán;
Ứng với mỗi cách, có 5! cách xếp sách Toán; có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Do đó có 2! × 5! × 4! × 3! = 34560 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Hỏi có bao nhiêu cách cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
ĐS: 86400
b) Mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
ĐS: 7680
Lời giải
a) Cố định một người, có 5! cách xếp 5 người cùng giới còn lại vào 5 vị trí còn lai;
Có 6! cách xếp 6 người khác giới còn lại vào các vị trí xen kẽ.
Vậy có tất cả 5! × 6! = 86400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta thực hiện theo hai công đoan:
Giai đoạn 1: Xếp 6 người chồng xung quanh một bàn tròn: có 5! cách.
Vậy có tất cả 5! × 26 = 7680 cách.
Giai đoạn 2: Xếp và ngồi gần chồng và hai vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 26 cách.
Ví dụ 5: Cho tập trung E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9? ĐS: 18
Lời giải
Các bộ ba số không giống nhau trong E có tổng bằng 9 là
Trường hợp 1: 1 + 2 + 6 = 9.
Trường hợp 2: 1 + 3 + 5 = 9.
Trường hợp 3: 2 + 3 + 4 = 9.
Mỗi bộ số đó lập được 3! số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau.
Vậy có 3 × 3! = 18 số.
Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số không giống nhau. Hỏi trong
các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau? ĐS: 480
Lời giải
Có 6! = 720 số có sáu chữ số không giống nhau được lập từ các chữ số đã cho.
Ta xác định các số có 6 chữ số nhưng mà 1 và 6 đứng cạnh nhau.
+) Có 5 cách chọn 2 vị trí cạnh nhau trong 6 vị trí.
+) Có 2! cách sắp xếp hai chữ số 1 và 2 vào 2 vị trí đó.
+) Có 4! cách sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại.
Suy ra có 5 × 4! × 2! = 240 các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.
Vậy số các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau là 720 − 240 = 480.
Ví dụ 7: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880
Lời giải
Xét dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5.
Nếu coi như dãy gồm các chữ số không giống nhau thì ta lập được 7 × 7! = 35280 số.
Ba chữ số 5 có số lần các số lặp lại là 3!
Vậy có
số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lai ba lần, các chữ số còn lai có mặt đúng một lần.
Dạng 4: Các bài toán sử dụng chỉnh hợp (Vận dụng)
4.1. Phương pháp giải
Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính chỉnh hợp
4.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Trong ko gian cho bốn điểmA, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các véc-tơ khác
. Hỏi có thể có được bao nhiêu véc-tơ? ĐS:
Lời giải
Chọn một cách có trật tự 2 trong 4 điểm A, B, C, D ta được một véc-tơ.
Do đó số cách chọn véc-tơ từ các điểm trên là
cách.
Ví dụ 2: Một nhóm học trò có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối tháng là các em nam và ko có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 3 trong 6 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 3 em nữ là
Số cách sắp xếp 7 em nam là 7!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế nhưng mà ko có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế xếp thành hàng ngang?
ĐS:
b) Ghế xếp quanh một bàn tròn?
ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 4 trong 5 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách sắp xếp 6 em nam là 6!.
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
b)
Sắp xếp em nữ vào 4 trong 6 vị trí khoảng giữa hai dấu chấm để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách xếp em nam thứ nhấtt vào bàn là 1 (vì xếp em này ngồi ở ghế nào cũng như nhau).
Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là 5 vì còn lại 5 ghế.
Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là 4.
Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là 3.
Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là 2.
Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn là 1.
Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 5!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 4: Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số không giống nhau được lập từ X nhưng mà chia hết cho 5? ĐS: 1560
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm năm chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a5 = 0.
Số cách chọn a1 là 7 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
+) Trường hợp 2: a5 = 5.
Số cách chọn a1 là 6 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 840 + 720 = 1560 cách.
Ví dụ 5: Cho tập X = {0; 1; …; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một không giống nhau được lập từ X và nhỏ hơn 475? ĐS: 268
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm ba chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a1 < 4 ⇒ a1 ∈ {1; 2; 3}
Số cách chọn 2 chữ số còn lại là
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là
cách.
Trường hợp 2: a1 = 4, a2 = 7.
Lúc đó a3 ∈ {0; 1; 2; 3}.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 1 . 4 = 4 cách.
Trường hợp 3: a1 = 4, a2 ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6}.
Số cách chọn a3 là 8 cách.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 6 . 8 = 48 cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 216 + 4 + 48 = 268 cách.
Tài liệu Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Thông tin tài liệu
Thông tin | |
Tên tài liệu | Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp |
Tác giả | Thầy Nguyễn Hữu Biển |
Số trang | 57 |
2. Mục lục
- Quy tắc đếm (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Hoán vị (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Chỉnh hợp (Lý thuyết & bài tập vận dung)
- Tổ hợp (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
3. Xem tài liệu
Nguồn tham khảo
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được nhận định cùng phân mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website xác thực và đáng tin tưởng nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích tới độc giả thông qua các nguồn được nghiên cứu.
1. Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/20222. Wikipedia, Giai thừa, 10/06/20223. Wikipedia, Hoán vị, 24/12/20214. Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/20215. Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
Câu hỏi thường gặp
Hoán vị là gì?
Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó.
Chỉnh hợp là gì?
Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự.
Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự.
Làm thế nào học tốt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp?
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhìn chung khá khó vì ko có một thuật toán rõ ràng, thuộc lòng công thức vẫn chưa phải là mấu chốt để khắc phục bài toán. Để học tốt, bạn cần nắm rõ các khái niệm tổ hợp, xác định được mẫu và quy luật do bài toán cụ thể đưa ra và khai thác thông tin thông minh để chia bài toán đếm lớn thành các bài toán đếm nhỏ.
[toggle title=”xem thêm thông tin chi tiết về Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Định nghĩa, công thức & bài tập” state=”close”]
Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập
Hình Ảnh về: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập
Video về: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập
Wiki về Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập
Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập -
Tìm hiểu ý nghĩa, công thức và cách sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và vận dụng để giải các bài tập từ cơ bản tới tăng lên. Trong quá trình học phần toán tổ hợp, việc hiểu ý tức là phần cực kì quan trọng. Do đó bài viết này rất quan trọng đối với những người học nhập môn.
Xuất xứ Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thuộc toán học tổ hợp – một ngành toán học rời rạc. Nghiên cứu về cấu hình liên kết các phần tử của một tập trung hữu hạn phần tử. Phần tri thức này liên quan tới nhiều lĩnh vực khác của toán học như đại số, xác suất,… và ứng dụng trực tiếp tới khoa học máy tính cung như vật lý thống kê. [1]Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/2022
Giai thừa
1.1. Khái niệm
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đều được trình diễn công thức có liên quan tới giai thừa. Do đó việc tìm hiểu lý thuyết giai thừa trước tiên là lẽ đương nhiên.
Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta khái niệm n giai thừa, ký hiệu bởi n! là:
n! = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1
Khái niệm: Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập trung các số tự nhiên. [2]Wikipedia, Giai thừa, 10/06/2022
1.2. Tính chất
Giai thừa có các tính chất sau đây:
+) n! = n.(n − 1)! = n.(n − 1).(n − 2)! = n.(n − 1).(n − 2)…..2.1
+) Quy ước 0! = 1.
Hoán vị
2.1. Khái niệm hoán vị
Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
Các hoán vị không giống nhau chỉ không giống nhau về trật tự sắp xếp các phần tử.
Khái niệm: Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó. [3]Wikipedia, Hoán vị, 24/12/2021
2.2. Ví dụ
Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c; …
2.3. Số các hoán vị
Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:
Pn = n! = n.(n − 1).(n − 2) … 2.1.
Chỉnh hợp
3.1. Khái niệm
Cho tập trung S gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập trung S và sắp xếp chúng theo một trật tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Khái niệm: Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự. [4]Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/2021
3.2. Định lí
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là:
3.3. Phương pháp giải
Lúc giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 tín hiệu sau:
+) Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X (1 ≤ k ≤ n).
+) Có sắp trật tự các phần tử đã chọn.
Tổ hợp
4.1. Khái niệm tổ hợp
Cho tập trung A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Ký hiệu
.
Khái niệm: Như đã giới thiệu ở phần trước, tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự. [5]Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
4.2. Định lý
Số tổ hợp chập k của một tập trung có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là
Với quy ước
thì với mọi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ n ta có
4.3. Tính chất
với 0 ≤ k ≤ n.
4.4. Công thức Pascal
với 1 ≤ k ≤ n.
Phân dạng bài tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Dạng 1: Ứng dụng công thức (Thông hiểu)
Ví dụ 1: Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế? ĐS: P3 = 3! = 6
Lời giải
Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của 3 bạn.
Tương tự ta có số cách xếp chỗ là P3 = 3! = 6 cách.
Ví dụ 2: Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau
a) Các quyển sách được xếp tùy ý?
ĐS: P12
b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
ĐS: P5.P4.P3.P3
Lời giải
a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có P12 cách xếp.
b) Vì các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là một phần tử, tương tự ta có P3 cách xếp.
Ngoài ra trong từng môn, ta cũng có hoán vị của từng cuốn sách, do đó ta có P5.P4.P3 cách xếp.
Vậy ta có P5.P4.P3.P3 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 3: Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bàn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách xếp 3 bận trong 5 bạn vào một bàn dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên ta có
cách.
Ví dụ 4: Chp tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho.
a) Đôi một không giống nhau? ĐS:
b) Số tự nhiên lẻ và đôi một không giống nhau? ĐS:
Lời giải
a) Mỗi cách chọn 4 số không giống nhau từ 7 số là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Do đó ta có
số được tạo thành.
b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, lúc đó ta có 4 cách chọn chữ số tận cùng.
Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có
cách.
Vậy có
số được tạo thành.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đoàn có 14 đoàn viên? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người là một tổ hợp chập 3 của 14 nên ta có
cách.
Ví dụ 6: Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán 4 đội bóng vào chung kết? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách dự đoán 4 đội vào chung kết là một tổ hợp chập 4 của 24 nên ta có
cách.
Ví dụ 7: Một lớp học có 30 học trò, cần lập ra một tổ công việc gồm 5 học trò. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập ra tổ công việc là một tổ hợp chập 5 của 30 nên ta có
cách.
Ví dụ 8: Trong ko gian, cho tập trung X gồm 10 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? ĐS:
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? ĐS:
Lời giải
a) Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2 điểm trong 10 điểm nên số đường thẳng được tạo thành là
.
b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3 điểm trong 10 điểm nên số tam giác được tạo thành là
.
Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (Vận dụng)
2.1. Phương pháp giải
+) Bước 1: Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau:
+) Bước 2: Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến.
+) Bước 3: So với điều kiện để nhận những trị giá cần tìm.
2.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức
.
ĐS:
Lời giải
Ví dụ 2: Giải phương trình
ĐS: n = 8
Lời giải
Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ ℕ
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) P2. x2 – P3. x = 8
ĐS: x = –1 hoặc x = 4
b)
ĐS: n = 8
c)
ĐS: x = 3
d)
ĐS: x = 3
e)
ĐS: x = 8
Lời giải
a) P2.x2 − P3.x = 8 ⇔ 2!. x2 − 3!. x − 8 = 0 ⇔ 2x2 − 6x − 8 = 0 ⇔
b) Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ
c) Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
d) Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ ℕ
e) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Ví dụ 4: Giải phương trình
ĐS: x = 3
Lời giải
Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
ĐS: n = 3 hoặc n = 4
b)
ĐS: n = 3
c)
ĐS: x = 2
Lời giải
a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 5, n ∈ ℕ hay n = 3 hoặc n = 4.
b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 4, n ∈ ℕ hay n = 3.
c) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 2 ≤ x <
, x ∈ ℕ hay x = 2.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
a)
ĐS: x = 5; y = 2
b)
ĐS: x = 8; y = 3
c)
ĐS: x = 7; y = 4
Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
b) Điều kiện: x ≥ y + 1, y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
c) Điều kiện: x ≥ y, y ≥ 2, x, y ∈ ℕ.
Dạng 3: Các bài toán sử dụng hoán vị (Vận dụng)
3.1. Phương pháp giải
Nhắc lại ý nghĩa của hoán vị: Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
3.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học trò A, B, C, D, E vào một ghế sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
ĐS: 24
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: 12
Lời giải
a) Xếp bạn C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp 4 bạn còn lại vào 4 vị trí còn lai: có 4! cách.
Vậy có 1 × 4! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Xếp hai bạn A và E ở hai đầu ghế: có 2! cách.
Xếp 3 bạn còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 3! cách.
Vậy có 2! × 3! = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học trò đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400
Lời giải
Chưa kể trật tự giữa 5 em trong nhóm “định trước”, để xếp 5 em này đúng kề nhau ta có 8! cách xếp;
Lại có 5! cách xếp 5 em này.
Vậy có tất cả 5! × 8! = 4838400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều không giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên.
a) Một cách tùy ý.
ĐS: 479001600
b) Theo từng môn?
ĐS: 103680
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
ĐS: 34560
Lời giải
a) Trên kệ có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.
Mỗi cách xếp thự tự 12 quyển sách chính là một hoán vị của 12 phần tử.
Do đó có tất cả 12! = 479001600 cách xếp.
b) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 3! cách xếp 3 khối này.
Có 5! cách xếp sách toán, có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Vậy có tất cả 3! × 5! × 4! × 3! = 103680 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 2! cách xếp hai môn còn lai ở hai bên sách Toán;
Ứng với mỗi cách, có 5! cách xếp sách Toán; có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Do đó có 2! × 5! × 4! × 3! = 34560 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Hỏi có bao nhiêu cách cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
ĐS: 86400
b) Mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
ĐS: 7680
Lời giải
a) Cố định một người, có 5! cách xếp 5 người cùng giới còn lại vào 5 vị trí còn lai;
Có 6! cách xếp 6 người khác giới còn lại vào các vị trí xen kẽ.
Vậy có tất cả 5! × 6! = 86400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta thực hiện theo hai công đoan:
Giai đoạn 1: Xếp 6 người chồng xung quanh một bàn tròn: có 5! cách.
Vậy có tất cả 5! × 26 = 7680 cách.
Giai đoạn 2: Xếp và ngồi gần chồng và hai vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 26 cách.
Ví dụ 5: Cho tập trung E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9? ĐS: 18
Lời giải
Các bộ ba số không giống nhau trong E có tổng bằng 9 là
Trường hợp 1: 1 + 2 + 6 = 9.
Trường hợp 2: 1 + 3 + 5 = 9.
Trường hợp 3: 2 + 3 + 4 = 9.
Mỗi bộ số đó lập được 3! số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau.
Vậy có 3 × 3! = 18 số.
Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số không giống nhau. Hỏi trong
các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau? ĐS: 480
Lời giải
Có 6! = 720 số có sáu chữ số không giống nhau được lập từ các chữ số đã cho.
Ta xác định các số có 6 chữ số nhưng mà 1 và 6 đứng cạnh nhau.
+) Có 5 cách chọn 2 vị trí cạnh nhau trong 6 vị trí.
+) Có 2! cách sắp xếp hai chữ số 1 và 2 vào 2 vị trí đó.
+) Có 4! cách sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại.
Suy ra có 5 × 4! × 2! = 240 các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.
Vậy số các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau là 720 − 240 = 480.
Ví dụ 7: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880
Lời giải
Xét dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5.
Nếu coi như dãy gồm các chữ số không giống nhau thì ta lập được 7 × 7! = 35280 số.
Ba chữ số 5 có số lần các số lặp lại là 3!
Vậy có
số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lai ba lần, các chữ số còn lai có mặt đúng một lần.
Dạng 4: Các bài toán sử dụng chỉnh hợp (Vận dụng)
4.1. Phương pháp giải
Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính chỉnh hợp
4.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Trong ko gian cho bốn điểmA, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các véc-tơ khác
. Hỏi có thể có được bao nhiêu véc-tơ? ĐS:
Lời giải
Chọn một cách có trật tự 2 trong 4 điểm A, B, C, D ta được một véc-tơ.
Do đó số cách chọn véc-tơ từ các điểm trên là
cách.
Ví dụ 2: Một nhóm học trò có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối tháng là các em nam và ko có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 3 trong 6 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 3 em nữ là
Số cách sắp xếp 7 em nam là 7!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế nhưng mà ko có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế xếp thành hàng ngang?
ĐS:
b) Ghế xếp quanh một bàn tròn?
ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 4 trong 5 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách sắp xếp 6 em nam là 6!.
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
b)
Sắp xếp em nữ vào 4 trong 6 vị trí khoảng giữa hai dấu chấm để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách xếp em nam thứ nhấtt vào bàn là 1 (vì xếp em này ngồi ở ghế nào cũng như nhau).
Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là 5 vì còn lại 5 ghế.
Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là 4.
Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là 3.
Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là 2.
Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn là 1.
Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 5!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 4: Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số không giống nhau được lập từ X nhưng mà chia hết cho 5? ĐS: 1560
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm năm chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a5 = 0.
Số cách chọn a1 là 7 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
+) Trường hợp 2: a5 = 5.
Số cách chọn a1 là 6 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 840 + 720 = 1560 cách.
Ví dụ 5: Cho tập X = {0; 1; …; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một không giống nhau được lập từ X và nhỏ hơn 475? ĐS: 268
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm ba chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a1 < 4 ⇒ a1 ∈ {1; 2; 3}
Số cách chọn 2 chữ số còn lại là
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là
cách.
Trường hợp 2: a1 = 4, a2 = 7.
Lúc đó a3 ∈ {0; 1; 2; 3}.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 1 . 4 = 4 cách.
Trường hợp 3: a1 = 4, a2 ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6}.
Số cách chọn a3 là 8 cách.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 6 . 8 = 48 cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 216 + 4 + 48 = 268 cách.
Tài liệu Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Thông tin tài liệu
Thông tin | |
Tên tài liệu | Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp |
Tác giả | Thầy Nguyễn Hữu Biển |
Số trang | 57 |
2. Mục lục
- Quy tắc đếm (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Hoán vị (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Chỉnh hợp (Lý thuyết & bài tập vận dung)
- Tổ hợp (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
3. Xem tài liệu
Nguồn tham khảo
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được nhận định cùng phân mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website xác thực và đáng tin tưởng nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích tới độc giả thông qua các nguồn được nghiên cứu.
1. Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/20222. Wikipedia, Giai thừa, 10/06/20223. Wikipedia, Hoán vị, 24/12/20214. Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/20215. Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
Câu hỏi thường gặp
Hoán vị là gì?
Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó.
Chỉnh hợp là gì?
Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự.
Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự.
Làm thế nào học tốt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp?
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhìn chung khá khó vì ko có một thuật toán rõ ràng, thuộc lòng công thức vẫn chưa phải là mấu chốt để khắc phục bài toán. Để học tốt, bạn cần nắm rõ các khái niệm tổ hợp, xác định được mẫu và quy luật do bài toán cụ thể đưa ra và khai thác thông tin thông minh để chia bài toán đếm lớn thành các bài toán đếm nhỏ.
[rule_{ruleNumber}]
[box type=”note” align=”” class=”” https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-7829188793211907″ crossorigin=”anonymous”>
Nguồn gốc Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thuộc toán học tổ hợp – một ngành toán học rời rạc. Nghiên cứu về cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp hữu hạn phần tử. Phần kiến thức này liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học như đại số, xác suất,… và ứng dụng trực tiếp đến khoa học máy tính cung như vật lý thống kê. [1]Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/2022
Giai thừa
1.1. Khái niệm
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đều được trình diễn công thức có liên quan tới giai thừa. Do đó việc tìm hiểu lý thuyết giai thừa trước tiên là lẽ đương nhiên.
Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta khái niệm n giai thừa, ký hiệu bởi n! là:
n! = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1
Khái niệm: Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập trung các số tự nhiên. [2]Wikipedia, Giai thừa, 10/06/2022
1.2. Tính chất
Giai thừa có các tính chất sau đây:
+) n! = n.(n − 1)! = n.(n − 1).(n − 2)! = n.(n − 1).(n − 2)…..2.1
+) Quy ước 0! = 1.
Hoán vị
2.1. Khái niệm hoán vị
Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
Các hoán vị không giống nhau chỉ không giống nhau về trật tự sắp xếp các phần tử.
Khái niệm: Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó. [3]Wikipedia, Hoán vị, 24/12/2021
2.2. Ví dụ
Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c; …
2.3. Số các hoán vị
Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:
Pn = n! = n.(n − 1).(n − 2) … 2.1.
Chỉnh hợp
3.1. Khái niệm
Cho tập trung S gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập trung S và sắp xếp chúng theo một trật tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Khái niệm: Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự. [4]Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/2021
3.2. Định lí
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là:
3.3. Phương pháp giải
Lúc giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 tín hiệu sau:
+) Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X (1 ≤ k ≤ n).
+) Có sắp trật tự các phần tử đã chọn.
Tổ hợp
4.1. Khái niệm tổ hợp
Cho tập trung A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.
Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Ký hiệu
.
Khái niệm: Như đã giới thiệu ở phần trước, tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự. [5]Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
4.2. Định lý
Số tổ hợp chập k của một tập trung có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là
Với quy ước
thì với mọi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ n ta có
4.3. Tính chất
với 0 ≤ k ≤ n.
4.4. Công thức Pascal
với 1 ≤ k ≤ n.
Phân dạng bài tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Dạng 1: Ứng dụng công thức (Thông hiểu)
Ví dụ 1: Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế? ĐS: P3 = 3! = 6
Lời giải
Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của 3 bạn.
Tương tự ta có số cách xếp chỗ là P3 = 3! = 6 cách.
Ví dụ 2: Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau
a) Các quyển sách được xếp tùy ý?
ĐS: P12
b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?
ĐS: P5.P4.P3.P3
Lời giải
a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có P12 cách xếp.
b) Vì các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là một phần tử, tương tự ta có P3 cách xếp.
Ngoài ra trong từng môn, ta cũng có hoán vị của từng cuốn sách, do đó ta có P5.P4.P3 cách xếp.
Vậy ta có P5.P4.P3.P3 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 3: Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bàn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách xếp 3 bận trong 5 bạn vào một bàn dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên ta có
cách.
Ví dụ 4: Chp tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho.
a) Đôi một không giống nhau? ĐS:
b) Số tự nhiên lẻ và đôi một không giống nhau? ĐS:
Lời giải
a) Mỗi cách chọn 4 số không giống nhau từ 7 số là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Do đó ta có
số được tạo thành.
b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, lúc đó ta có 4 cách chọn chữ số tận cùng.
Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có
cách.
Vậy có
số được tạo thành.
Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đoàn có 14 đoàn viên? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người là một tổ hợp chập 3 của 14 nên ta có
cách.
Ví dụ 6: Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán 4 đội bóng vào chung kết? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách dự đoán 4 đội vào chung kết là một tổ hợp chập 4 của 24 nên ta có
cách.
Ví dụ 7: Một lớp học có 30 học trò, cần lập ra một tổ công việc gồm 5 học trò. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:
Lời giải
Mỗi cách lập ra tổ công việc là một tổ hợp chập 5 của 30 nên ta có
cách.
Ví dụ 8: Trong ko gian, cho tập trung X gồm 10 điểm, trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi
a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? ĐS:
b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? ĐS:
Lời giải
a) Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2 điểm trong 10 điểm nên số đường thẳng được tạo thành là
.
b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3 điểm trong 10 điểm nên số tam giác được tạo thành là
.
Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (Vận dụng)
2.1. Phương pháp giải
+) Bước 1: Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau:
+) Bước 2: Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến.
+) Bước 3: So với điều kiện để nhận những trị giá cần tìm.
2.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức
.
ĐS:
Lời giải
Ví dụ 2: Giải phương trình
ĐS: n = 8
Lời giải
Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ ℕ
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) P2. x2 – P3. x = 8
ĐS: x = –1 hoặc x = 4
b)
ĐS: n = 8
c)
ĐS: x = 3
d)
ĐS: x = 3
e)
ĐS: x = 8
Lời giải
a) P2.x2 − P3.x = 8 ⇔ 2!. x2 − 3!. x − 8 = 0 ⇔ 2x2 − 6x − 8 = 0 ⇔
b) Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ
c) Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
d) Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ ℕ
e) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Ví dụ 4: Giải phương trình
ĐS: x = 3
Lời giải
Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:
a)
ĐS: n = 3 hoặc n = 4
b)
ĐS: n = 3
c)
ĐS: x = 2
Lời giải
a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 5, n ∈ ℕ hay n = 3 hoặc n = 4.
b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 4, n ∈ ℕ hay n = 3.
c) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ
Giao với điều kiện ta được 2 ≤ x <
, x ∈ ℕ hay x = 2.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:
a)
ĐS: x = 5; y = 2
b)
ĐS: x = 8; y = 3
c)
ĐS: x = 7; y = 4
Lời giải
a) Điều kiện: x ≥ y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
b) Điều kiện: x ≥ y + 1, y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.
c) Điều kiện: x ≥ y, y ≥ 2, x, y ∈ ℕ.
Dạng 3: Các bài toán sử dụng hoán vị (Vận dụng)
3.1. Phương pháp giải
Nhắc lại ý nghĩa của hoán vị: Cho tập trung A có n phần tử (n ≥ 1).
+) Ta nói mỗi cách sắp xếp trật tự của n phần tử tập trung A là một hoán vị của n phần tử này.
+) Số các hoán vị của n phần tử tập trung A được ký hiệu bởi Pn.
3.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học trò A, B, C, D, E vào một ghế sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa?
ĐS: 24
b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
ĐS: 12
Lời giải
a) Xếp bạn C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp 4 bạn còn lại vào 4 vị trí còn lai: có 4! cách.
Vậy có 1 × 4! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Xếp hai bạn A và E ở hai đầu ghế: có 2! cách.
Xếp 3 bạn còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 3! cách.
Vậy có 2! × 3! = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học trò đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400
Lời giải
Chưa kể trật tự giữa 5 em trong nhóm “định trước”, để xếp 5 em này đúng kề nhau ta có 8! cách xếp;
Lại có 5! cách xếp 5 em này.
Vậy có tất cả 5! × 8! = 4838400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều không giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên.
a) Một cách tùy ý.
ĐS: 479001600
b) Theo từng môn?
ĐS: 103680
c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
ĐS: 34560
Lời giải
a) Trên kệ có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.
Mỗi cách xếp thự tự 12 quyển sách chính là một hoán vị của 12 phần tử.
Do đó có tất cả 12! = 479001600 cách xếp.
b) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 3! cách xếp 3 khối này.
Có 5! cách xếp sách toán, có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Vậy có tất cả 3! × 5! × 4! × 3! = 103680 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 2! cách xếp hai môn còn lai ở hai bên sách Toán;
Ứng với mỗi cách, có 5! cách xếp sách Toán; có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.
Do đó có 2! × 5! × 4! × 3! = 34560 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Hỏi có bao nhiêu cách cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
ĐS: 86400
b) Mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
ĐS: 7680
Lời giải
a) Cố định một người, có 5! cách xếp 5 người cùng giới còn lại vào 5 vị trí còn lai;
Có 6! cách xếp 6 người khác giới còn lại vào các vị trí xen kẽ.
Vậy có tất cả 5! × 6! = 86400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta thực hiện theo hai công đoan:
Giai đoạn 1: Xếp 6 người chồng xung quanh một bàn tròn: có 5! cách.
Vậy có tất cả 5! × 26 = 7680 cách.
Giai đoạn 2: Xếp và ngồi gần chồng và hai vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 26 cách.
Ví dụ 5: Cho tập trung E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9? ĐS: 18
Lời giải
Các bộ ba số không giống nhau trong E có tổng bằng 9 là
Trường hợp 1: 1 + 2 + 6 = 9.
Trường hợp 2: 1 + 3 + 5 = 9.
Trường hợp 3: 2 + 3 + 4 = 9.
Mỗi bộ số đó lập được 3! số tự nhiên gồm ba chữ số không giống nhau.
Vậy có 3 × 3! = 18 số.
Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số không giống nhau. Hỏi trong
các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau? ĐS: 480
Lời giải
Có 6! = 720 số có sáu chữ số không giống nhau được lập từ các chữ số đã cho.
Ta xác định các số có 6 chữ số nhưng mà 1 và 6 đứng cạnh nhau.
+) Có 5 cách chọn 2 vị trí cạnh nhau trong 6 vị trí.
+) Có 2! cách sắp xếp hai chữ số 1 và 2 vào 2 vị trí đó.
+) Có 4! cách sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại.
Suy ra có 5 × 4! × 2! = 240 các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.
Vậy số các số nhưng mà hai chữ số 1 và 6 ko đứng cạnh nhau là 720 − 240 = 480.
Ví dụ 7: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880
Lời giải
Xét dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5.
Nếu coi như dãy gồm các chữ số không giống nhau thì ta lập được 7 × 7! = 35280 số.
Ba chữ số 5 có số lần các số lặp lại là 3!
Vậy có
số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lai ba lần, các chữ số còn lai có mặt đúng một lần.
Dạng 4: Các bài toán sử dụng chỉnh hợp (Vận dụng)
4.1. Phương pháp giải
Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính chỉnh hợp
4.2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Trong ko gian cho bốn điểmA, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các véc-tơ khác
. Hỏi có thể có được bao nhiêu véc-tơ? ĐS:
Lời giải
Chọn một cách có trật tự 2 trong 4 điểm A, B, C, D ta được một véc-tơ.
Do đó số cách chọn véc-tơ từ các điểm trên là
cách.
Ví dụ 2: Một nhóm học trò có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối tháng là các em nam và ko có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 3 trong 6 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 3 em nữ là
Số cách sắp xếp 7 em nam là 7!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế nhưng mà ko có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế xếp thành hàng ngang?
ĐS:
b) Ghế xếp quanh một bàn tròn?
ĐS:
Lời giải
Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:
| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |
Lúc đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 4 trong 5 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách sắp xếp 6 em nam là 6!.
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
b)
Sắp xếp em nữ vào 4 trong 6 vị trí khoảng giữa hai dấu chấm để thỏa yêu cầu bài toán.
Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là
Số cách xếp em nam thứ nhấtt vào bàn là 1 (vì xếp em này ngồi ở ghế nào cũng như nhau).
Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là 5 vì còn lại 5 ghế.
Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là 4.
Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là 3.
Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là 2.
Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn là 1.
Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 5!
Vậy số cách sắp xếp 10 em này là
Ví dụ 4: Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số không giống nhau được lập từ X nhưng mà chia hết cho 5? ĐS: 1560
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm năm chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a5 = 0.
Số cách chọn a1 là 7 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
+) Trường hợp 2: a5 = 5.
Số cách chọn a1 là 6 cách.
Số cách chọn bộ số còn lại là
cách.
Do đó số cách chọn trong trường hợp này là
cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 840 + 720 = 1560 cách.
Ví dụ 5: Cho tập X = {0; 1; …; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một không giống nhau được lập từ X và nhỏ hơn 475? ĐS: 268
Lời giải
Xét số tự nhiên gồm ba chữ số
, a1 ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Trường hợp 1: a1 < 4 ⇒ a1 ∈ {1; 2; 3}
Số cách chọn 2 chữ số còn lại là
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là
cách.
Trường hợp 2: a1 = 4, a2 = 7.
Lúc đó a3 ∈ {0; 1; 2; 3}.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 1 . 4 = 4 cách.
Trường hợp 3: a1 = 4, a2 ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6}.
Số cách chọn a3 là 8 cách.
Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 6 . 8 = 48 cách.
Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 216 + 4 + 48 = 268 cách.
Tài liệu Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Thông tin tài liệu
Thông tin | |
Tên tài liệu | Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp |
Tác giả | Thầy Nguyễn Hữu Biển |
Số trang | 57 |
2. Mục lục
- Quy tắc đếm (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Hoán vị (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
- Chỉnh hợp (Lý thuyết & bài tập vận dung)
- Tổ hợp (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
3. Xem tài liệu
Nguồn tham khảo
TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được nhận định cùng phân mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website xác thực và đáng tin tưởng nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích tới độc giả thông qua các nguồn được nghiên cứu.
1. Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/20222. Wikipedia, Giai thừa, 10/06/20223. Wikipedia, Hoán vị, 24/12/20214. Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/20215. Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021
Câu hỏi thường gặp
Hoán vị là gì?
Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có trật tự ko lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập trung hữu hạn X nào đó.
Chỉnh hợp là gì?
Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt trật tự, trái với tổ hợp là ko phân biệt trật tự.
Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn nhưng mà ko phân biệt trật tự.
Làm thế nào học tốt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp?
Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nhìn chung khá khó vì ko có một thuật toán rõ ràng, thuộc lòng công thức vẫn chưa phải là mấu chốt để khắc phục bài toán. Để học tốt, bạn cần nắm rõ các khái niệm tổ hợp, xác định được mẫu và quy luật do bài toán cụ thể đưa ra và khai thác thông tin thông minh để chia bài toán đếm lớn thành các bài toán đếm nhỏ.
[/box]
#Hoán #vị #Chỉnh #hợp #Tổ #hợp #Định #nghĩa #công #thức #bài #tập
[/toggle]
Bạn thấy bài viết Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp | Khái niệm, công thức & bài tập bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Kiến thức chung
#Hoán #vị #Chỉnh #hợp #Tổ #hợp #Định #nghĩa #công #thức #bài #tập
Trả lời