Hàm số đồng biến khi nào? Hàm số nghịch biến khi nào?

1. Khi một hàm đồng thời và khi nó nghịch đảo:

Ví dụ: K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và y = f(x) là hàm được xác định trên K.

+ Hàm số y = f(x) gọi là đều (tăng) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) < f (x2)

+ Hàm số y = f(x) gọi là hàm nghịch đảo (giảm) trên K nếu: ∀ x1, x2 ∊ f (x1) > f (x2)

Các hàm thay đổi đồng thời hoặc nghịch đảo trên K

Nhận xét 1: Nếu hàm f(x) và g(x) đều đồng biến (nghịch đảo) trên D thì hàm f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch đảo) trên D. Tính chất này có thể không đúng cho sự khác biệt f(x) – g(x)

Nhận xét 2: Nếu hàm f(x) và g(x) là hàm dương và hiệp biến (nghịch đảo) trên D thì hàm f(x)․g(x) cũng hiệp biến (nghịch đảo). D. Tính chất này có thể không đúng khi các hàm f(x) và g(x) không phải là các hàm dương trên D.

Bình luận 3

Hàm u = u(x) phải được xác định bởi x ∊ (a;b) và u(x) ∊ (c;d). hàm f [u(x)] cũng được xác định bằng x ∊ (a;b). Chúng tôi có nhận xét sau:

Giả sử hàm u = u(x) là hiệp biến với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm f [u(x)] hiệp biến với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) hiệp biến với u(x) ∊ (c;d)

Giả sử hàm u = u(x) nghịch đảo với x ∊ (a;b). Khi đó, hàm f [u(x)] nghịch đảo với x ∊ (a;b) ⇔ f(u) nghịch đảo với u(x) ∊ (c;d)

-> Định lý 1

Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

– Nếu hàm số đều trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K

– Nếu hàm số nghịch đảo trên khoảng K thì f'(x) 0, ∀ x ∊ K

-> Định lý 2.

Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

– Nếu f'(x) > 0, ∀ x ∊ K thì hàm f đều trên K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀ x ∊ K thì hàm f nghịch đảo trên K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀ x ∊ K, thì hàm f không đổi trên K.

-> Định lý 3. (mở rộng định lý 2)

Giả sử hàm f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀ x ∊ K và f'(x) = 0 chỉ tại các điểm hữu hạn trong K thì hàm f thống nhất trên K.

– Nếu f'(x) ≤ 0, ∀ x ∊ K và f'(x) = 0 chỉ tại các điểm hữu hạn trong K, thì hàm f nghịch đảo trên K.

2. Cách xác định hàm hiệp biến và hàm nghịch đảo:

Để xác định xem một hàm đã cho là hàm đồng thời hay hàm nghịch đảo, hãy làm theo các bước sau:

– Bước 1: Tìm tập hợp đã chỉ định

– Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số đã cho

– Bước 3: Tìm điểm khi f'(x) = 0 hoặc chưa biết

– Bước 4: Tạo mảng biến sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần

– Bước 5: Từ bảng biến phân rút ra kết luận về phạm vi cộng biến và nghịch đảo của hàm số đã cho

3. Dạng bài tập tính hiệp phương sai và nghịch đảo của hàm số:

Dạng 1: Tìm khoảng đồng dư – nghịch đảo của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

+) Khi f'(x) > 0 thì hàm số đều tại đó.

+) Khi f'(x) < 0 thì hàm số nghịch đảo.

Luật lệ:

+) Tính f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 để tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f'(x)

+) Dựa vào bảng dấu hiệu và kết luận.

Ví dụ 1. Cho hàm f(x) thay đổi trên tập số thực ℝ, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với mọi x1 > x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

B. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) > f (x2)

C. Với mọi x1, x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

D. Với mọi x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

-> Chọn đáp án D.

Ta có: f(x) đồng nhất trên tập số thực ℝ.

⇒ x1 < x2 ∊ ℝ ⇒ f (x1) < f (x2)

Ví dụ 2. Cho hàm f(x) = -2×3 + 3×2 – 3x và 0 ≤ a < b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hàm nghịch đảo trên ℝ

B. f(a) > f(b)

C.f(b) < 0

D. f(a) < f(b)

-> Chọn đáp án D.

Ta có: f'(x) = -6×2 + 6x – 3 < 0, ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm nghịch đảo trên ℝ.

0 ≤ một < b ⇒ f (0) ≥ f (a) > f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số

Kiến thức tổng quát

+) Để hàm số thay đổi trên khoảng (a;b) thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

+) Để hàm số nghịch đảo trên đoạn (a;b) thì f'(x) 0, ∀ x ∊ (a;b).

*) Chỉ dành cho chức năng:

. Có TXĐ như tập D. Điều kiện như sau:

+) Để hàm số thay đổi trên TXD thì y’ > 0, ∀ x ∊ D.

+) Để hàm số nghịch đảo trên TXD thì y’ < 0, ∀ x ∊ D.

+) Vì hàm số không đổi trên đoạn (a;b), nên

+) Cho hàm số nghịch đảo trên đoạn (a;b) nên

*) Tìm m sao cho hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên ℝ

+) Tính y = 3ax2 + 2bx + c dưới dạng tam thức bậc hai với biệt thức ∆.

+) Cho hàm số không đổi trên ℝ

+) Cho hàm đảo ngược trên ℝ

Lưu ý: Gọi hàm số là y = ax3 + bx2 + cx + d

+) Khi a > 0 hàm số nghịch đảo trên đoạn có độ dài k ⇔ y’ = 0 với 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

+) Khi a < 0, sao cho hàm số đồng nhất trên đoạn có độ dài k ⇔ y' = 0 thì tồn tại 2 nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho |x1 – x2| = k

Ví dụ 1. Hàm số y = x3 – 3×2 + (m – 2) x + 1 luôn bằng nhau khi:

A. m ≥ 5

B. m 5

C.

D.

-> Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3×2 – 6x + m – 2

Hàm số đều trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3×2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ 0 ⇔ 15 – 3m 0 ⇔ m ≥ 5

Ví dụ 2. Hàm số y = ⅓x3 – mx2 – (3m + 2) x + 1 thống nhất trên ℝ khi m bằng

MỘT.

B.

C. -2 ≤ m ≤ -1

D. -2 < m < -1

-> Chọn đáp án C

Ta có: y’ = x2 – 2mx – 3m + 2

Hàm số đều trên ℝ khi và chỉ khi y’ = x2 – 2mx – 3m + 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ 0 ⇔ m2 + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ -1

Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập hợp đã chỉ định

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định được.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và tạo bảng biến.

Bước 4: Phát biểu kết luận về khoảng đồng dạng và nghịch đảo của hàm số.

Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = x4 – 2×2 + 1

Hàm được xác định cho mọi x ∊ ℝ

y’ = 4×3 – 4x = 4x (x2 – 1)

Đặt y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến số ta suy ra:

• Hàm này là hiệp biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞).
• Hàm nghịch đảo trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = ¼x4 + 2×2 – 1

Hàm được xác định cho mọi x ∊ ℝ

y’ = x3 + 4x = x (x2 + 4)

Đặt y’ = 0 ⇒ x = 0 (vì x2 + 4 = 0 vô nghiệm)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến số ta suy ra:

• Hàm hiệp biến trên khoảng (0; +∞)
• Hàm nghịch đảo trên khoảng (-∞; 0)

Bạn thấy bài viết Hàm số đồng biến khi nào? Hàm số nghịch biến khi nào? có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu  không hãy comment góp ý thêm về Hàm số đồng biến khi nào? Hàm số nghịch biến khi nào? bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo

Chuyên mục: Kiến thức chung

Nguồn: thpttranhungdao.edu.vn