Cực trị của hàm là một trong những phần quan trọng của kiến thức đại số cấp 3. Để học trò dễ dàng nắm bắt và vận dụng những kiến thức này. Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tổng hợp tất cả các khái niệm và cách tìm cực trị của hàm số thường gặp ngay bên dưới.
Lý thuyết cực trị của hàm
Cực trị của hàm số là điểm có trị giá lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh nhưng mà hàm số đạt đượcc. Trong hình học, nó đại diện cho khoảng cách tối đa hoặc tối thiểu từ điểm này tới điểm khác.
1. Khái niệm
Giả sử tác dụng f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 Kč.
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Lúc đó f(x0) được gọi là gia trị lơn nhât của hàm f.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Lúc đó f(x0) được gọi là trị giá tối thiểu của hàm f.
Một số xem xét chung:
Điểm tối đa (tối thiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Trị giá lớn nhất (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
Nói chung, trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) f(x0) ko phải là trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
Hàm số có cực trị lúc nào? Để hàm số đạt cực đại tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (gồm: điều kiện cần và đủ).
điều kiện tiên quyết
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. Lúc đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.
Một số xem xét chung:
Điều trái lại có thể ko đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f ko có cực đại tại điểm x0.
Hàm số có thể đạt cực đại tại điểm nhưng mà hàm số ko có đạo hàm.
điều kiện đủ
Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương lúc x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm lúc x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f”(x0) = 0 thì chưa kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp
Mỗi hàm có một tính chất và cách tìm cực trị không giống nhau. Ngay sau đây Trường THPT Trần Hưng Đạo sẽ giới thiệu tới các bạn cách tính cực trị của hàm số hay gặp trong các đề thi nhất.
Cực trị của hàm bậc 2
Hàm bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.
y’ đổi dấu lúc qua x x0 = -b/2a
Hàm số đạt cực đại tại x0 = -b/2a
Cực trị của hàm bậc 3
Hàm số bậc ba có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.
Δ’ ≤ 0 : y’ ko đổi dấu → hàm số ko có cực trị
Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có 2 cực trị (1 CI và 1 CT)
Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:
Chúng ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f'(x).
Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2
Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f'(x2) = 0
Phần kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D
Cực trị của Hàm số Bậc hai (Hàm số Bình phương)
Hàm bậc hai có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.
Lúc nào -b/2a ≤ 0 b/2a ≥ 0 thì y’ chỉ đổi dấu một lần lúc x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Lúc nào -b/2a > 0 b/2a < 0 thì y’ đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị
Cực trị của các hàm lượng giác
Phương pháp tìm cực trị của hàm lượng giác như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Sau đó, chúng tôi tìm đạo hàm y”.
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Cực trị của hàm logarit
Chúng ta cần tuân theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Hãy xem xét hai khả năng:
Tìm đạo hàm y”.
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 3.
Nếu chúng ta có thể xét dấu của y’: Sau đó: lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Nếu dấu của y’ ko được xét: Sau đó:
GIÚP CON BẠN HỌC TOÁN VÀ TIẾNG ANH SIÊU TIẾT KIỆM CHỈ TRÊN 1 ỨNG DỤNG MONKEY MATH. VỚI NỘI DUNG GIẢNG DẠY ĐA DẠNG GIÚP BÉ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ VÀ NGÔN NGỮ TOÀN DIỆN CHỈ VỚI GIÁO XUNG 2K/NGÀY. |
Các dạng bài tập thường gặp
Bởi các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan tới cực trị của hàm số giúp các bạn dễ dàng luyện tập hơn.
Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số
Có 2 cách giải bài tìm số điểm cực đại của hàm số các em có thể theo dõi dưới đây.
Cách 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) ko xác định.
Bước 3: Tạo một bảng biến thể.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,…) là nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .
Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D=R.
Tính y’ = 6x^2 – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = -2.
Dạng 2: Tìm thông số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm
Phương pháp giải:
Ở dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để khắc phục vấn đề này, chúng tôi thực hiện theo hai bước.
Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được trị giá của thông số .
Bước 2: Rà soát bằng một trong hai quy tắc tìm cực trị, xem trị giá của thông số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay ko?
Ví dụ:
Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là thông số thực. Tìm tất cả các trị giá của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →
⇔m=1.
Dạng 3: Biện luận theo m cực trị của hàm số
Đối với cực trị của hàm bậc ba
Đưa ra tác dụng y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Sau đó chúng tôi có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho ko có cực trị.
Hàm số bậc 3 ko có cực trị b^2 – 3ac 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai cực trị.
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị b^2 – 3ac > 0
Đối với cực trị của hàm bậc hai
Cho tác dụng: y = ax^4 + bx^2 + c (a 0) có đồ thị là (C). Sau đó chúng tôi có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.
(C) có 1 điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 vừa có cực đại, vừa có cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu lúc và chỉ lúc y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.
Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyện
Đáp án của các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9Đ; 10B; 11C.
Trên đây là toàn thể kiến thức về cực trị của hàm nhưng mà Khỉ muốn san sớt với độc giả. Kỳ vọng bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào trong việc sẵn sàng cho các kỳ thi sắp tới. Xin được ở bên bạn!
[toggle title=”xem thêm thông tin chi tiết về Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết” state=”close”]
Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể
Hình Ảnh về: Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể
Video về: Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể
Wiki về Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể
Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể -
Cực trị của hàm là một trong những phần quan trọng của kiến thức đại số cấp 3. Để học trò dễ dàng nắm bắt và vận dụng những kiến thức này. Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tổng hợp tất cả các khái niệm và cách tìm cực trị của hàm số thường gặp ngay bên dưới.
Lý thuyết cực trị của hàm
Cực trị của hàm số là điểm có trị giá lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh nhưng mà hàm số đạt đượcc. Trong hình học, nó đại diện cho khoảng cách tối đa hoặc tối thiểu từ điểm này tới điểm khác.
1. Khái niệm
Giả sử tác dụng f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 Kč.
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Lúc đó f(x0) được gọi là gia trị lơn nhât của hàm f.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Lúc đó f(x0) được gọi là trị giá tối thiểu của hàm f.
Một số xem xét chung:
Điểm tối đa (tối thiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Trị giá lớn nhất (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
Nói chung, trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) f(x0) ko phải là trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là trị giá lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
Hàm số có cực trị lúc nào? Để hàm số đạt cực đại tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (gồm: điều kiện cần và đủ).
điều kiện tiên quyết
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. Lúc đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.
Một số xem xét chung:
Điều trái lại có thể ko đúng. Đạo hàm f' có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f ko có cực đại tại điểm x0.
Hàm số có thể đạt cực đại tại điểm nhưng mà hàm số ko có đạo hàm.
điều kiện đủ
Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương lúc x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm lúc x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f''(x0) = 0 thì chưa kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp
Mỗi hàm có một tính chất và cách tìm cực trị không giống nhau. Ngay sau đây Trường THPT Trần Hưng Đạo sẽ giới thiệu tới các bạn cách tính cực trị của hàm số hay gặp trong các đề thi nhất.
Cực trị của hàm bậc 2
Hàm bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y' = 2ax + b.
y' đổi dấu lúc qua x x0 = -b/2a
Hàm số đạt cực đại tại x0 = -b/2a
Cực trị của hàm bậc 3
Hàm số bậc ba có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y' = 3ax2 + 2bx + c → Δ' = b2 – 3ac.
Δ' ≤ 0 : y' ko đổi dấu → hàm số ko có cực trị
Δ' > 0 : y' đổi dấu 2 lần → hàm số có 2 cực trị (1 CI và 1 CT)
Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:
Chúng ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f '(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f'(x).
Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2
Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f '(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f '(x1) = 0
Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f'(x2) = 0
Phần kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D
Cực trị của Hàm số Bậc hai (Hàm số Bình phương)
Hàm bậc hai có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y' = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y' = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.
Lúc nào -b/2a ≤ 0 b/2a ≥ 0 thì y' chỉ đổi dấu một lần lúc x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Lúc nào -b/2a > 0 b/2a < 0 thì y' đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị
Cực trị của các hàm lượng giác
Phương pháp tìm cực trị của hàm lượng giác như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y' = f'(x), giải phương trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Sau đó, chúng tôi tìm đạo hàm y''.
Tính y''(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Cực trị của hàm logarit
Chúng ta cần tuân theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y', sau đó giải phương trình y'=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Hãy xem xét hai khả năng:
Tìm đạo hàm y''.
Tính y''(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 3.
Nếu chúng ta có thể xét dấu của y': Sau đó: lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Nếu dấu của y' ko được xét: Sau đó:
GIÚP CON BẠN HỌC TOÁN VÀ TIẾNG ANH SIÊU TIẾT KIỆM CHỈ TRÊN 1 ỨNG DỤNG MONKEY MATH. VỚI NỘI DUNG GIẢNG DẠY ĐA DẠNG GIÚP BÉ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ VÀ NGÔN NGỮ TOÀN DIỆN CHỈ VỚI GIÁO XUNG 2K/NGÀY. |
Các dạng bài tập thường gặp
Bởi các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan tới cực trị của hàm số giúp các bạn dễ dàng luyện tập hơn.
Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số
Có 2 cách giải bài tìm số điểm cực đại của hàm số các em có thể theo dõi dưới đây.
Cách 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) ko xác định.
Bước 3: Tạo một bảng biến thể.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,...) là nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f''(x) và f''(xi ) .
Bước 4: Dựa vào dấu của f''(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D=R.
Tính y' = 6x^2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = -2.
Dạng 2: Tìm thông số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm
Phương pháp giải:
Ở dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để khắc phục vấn đề này, chúng tôi thực hiện theo hai bước.
Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được trị giá của thông số .
Bước 2: Rà soát bằng một trong hai quy tắc tìm cực trị, xem trị giá của thông số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay ko?
Ví dụ:
Cho hàm y = x^3 - 3mx^2 +(m^2 - 1)x + 2, m là thông số thực. Tìm tất cả các trị giá của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R. Tính y'=3x^2 - 6mx + m^2 - 1; y'' = 6x - 6m.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →
⇔m=1.
Dạng 3: Biện luận theo m cực trị của hàm số
Đối với cực trị của hàm bậc ba
Đưa ra tác dụng y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Sau đó chúng tôi có: y' = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b^2 - 3ac.
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho ko có cực trị.
Hàm số bậc 3 ko có cực trị b^2 - 3ac 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai cực trị.
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị b^2 - 3ac > 0
Đối với cực trị của hàm bậc hai
Cho tác dụng: y = ax^4 + bx^2 + c (a 0) có đồ thị là (C). Sau đó chúng tôi có: y' = 4ax^3 + 2bx; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.
(C) có 1 điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
(C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 vừa có cực đại, vừa có cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: y' = 3x2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu lúc và chỉ lúc y'=0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.
Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyện
Đáp án của các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9Đ; 10B; 11C.
Trên đây là toàn thể kiến thức về cực trị của hàm nhưng mà Khỉ muốn san sớt với độc giả. Kỳ vọng bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào trong việc sẵn sàng cho các kỳ thi sắp tới. Xin được ở bên bạn!
[rule_{ruleNumber}]
[box type=”note” align=”” class=”” ltr”>Lý thuyết cực trị của hàm
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số đạt đượcc. Trong hình học, nó đại diện cho khoảng cách tối đa hoặc tối thiểu từ điểm này đến điểm khác.
1. Định nghĩa
Giả sử chức năng f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 Kč.
x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là gia trị lơn nhât của hàm f.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) {x0}. Khi đó f(x0) được gọi là giá trị tối thiểu của hàm f.
Một số lưu ý chung:
Điểm tối đa (tối thiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Giá trị lớn nhất (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
Nói chung, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị
Hàm số có cực trị khi nào? Để hàm số đạt cực đại tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (gồm: điều kiện cần và đủ).
điều kiện tiên quyết
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.
Một số lưu ý chung:
Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f không có cực đại tại điểm x0.
Hàm số có thể đạt cực đại tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.
điều kiện đủ
Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f”(x0) = 0 thì chưa kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp
Mỗi hàm có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau. Ngay sau đây Trường THPT Trần Hưng Đạo sẽ giới thiệu đến các bạn cách tính cực trị của hàm số hay gặp trong các đề thi nhất.
Cực trị của hàm bậc 2
Hàm bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.
y’ đổi dấu khi qua x x0 = -b/2a
Hàm số đạt cực đại tại x0 = -b/2a
Cực trị của hàm bậc 3
Hàm số bậc ba có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.
Δ’ ≤ 0 : y’ không đổi dấu → hàm số không có cực trị
Δ’ > 0 : y’ đổi dấu 2 lần → hàm số có 2 cực trị (1 CI và 1 CT)
Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:
Chúng ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f'(x).
Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2
Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f'(x2) = 0
Phần kết luận: Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D
Cực trị của Hàm số Bậc hai (Hàm số Bình phương)
Hàm bậc hai có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y’ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.
Khi nào -b/2a ≤ 0 b/2a ≥ 0 thì y’ chỉ đổi dấu một lần khi x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Khi nào -b/2a > 0 b/2a < 0 thì y’ đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị
Cực trị của các hàm lượng giác
Phương pháp tìm cực trị của hàm lượng giác như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Sau đó, chúng tôi tìm đạo hàm y”.
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Cực trị của hàm logarit
Chúng ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Hãy xem xét hai khả năng:
Tìm đạo hàm y”.
Tính y”(x0) rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 3.
Nếu chúng ta có thể xét dấu của y’: Sau đó: lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận dựa vào định lý 2.
Nếu dấu của y’ không được xét: Sau đó:
GIÚP CON BẠN HỌC TOÁN VÀ TIẾNG ANH SIÊU TIẾT KIỆM CHỈ TRÊN 1 ỨNG DỤNG MONKEY MATH. VỚI NỘI DUNG GIẢNG DẠY ĐA DẠNG GIÚP BÉ PHÁT TRIỂN TRÍ TUỆ VÀ NGÔN NGỮ TOÀN DIỆN CHỈ VỚI GIÁO XUNG 2K/NGÀY. |
Các dạng bài tập thường gặp
Bởi các bài toán cực trị thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Trường THPT Trần Hưng Đạo đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến cực trị của hàm số giúp các bạn dễ dàng luyện tập hơn.
Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số
Có 2 cách giải bài tìm số điểm cực đại của hàm số các em có thể theo dõi dưới đây.
Cách 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3: Tạo một bảng biến thể.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,…) là nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .
Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ:
Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D=R.
Tính y’ = 6x^2 – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y = -2.
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm
Phương pháp giải:
Ở dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để giải quyết vấn đề này, chúng tôi tiến hành theo hai bước.
Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .
Bước 2: Kiểm tra bằng một trong hai quy tắc tìm cực trị, xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?
Ví dụ:
Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=2.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →
⇔m=1.
Dạng 3: Biện luận theo m cực trị của hàm số
Đối với cực trị của hàm bậc ba
Đưa ra chức năng y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Sau đó chúng tôi có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.
Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị b^2 – 3ac 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai cực trị.
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị b^2 – 3ac > 0
Đối với cực trị của hàm bậc hai
Cho chức năng: y = ax^4 + bx^2 + c (a 0) có đồ thị là (C). Sau đó chúng tôi có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.
(C) có 1 điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.
(C) có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.
Ví dụ:
Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 vừa có cực đại, vừa có cực tiểu.
Hướng dẫn giải:
Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.
Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyện
Đáp án của các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9Đ; 10B; 11C.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm mà Khỉ muốn chia sẻ với bạn đọc. Hy vọng bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào trong việc chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Xin được ở bên bạn!
[/box]
#Cực #trị #của #hàm #số #Lý #thuyết #các #dạng #bài #tập #và #cách #giải #chi #tiết
[/toggle]
Bạn thấy bài viết Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải cụ thể bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Giáo dục
#Cực #trị #của #hàm #số #Lý #thuyết #các #dạng #bài #tập #và #cách #giải #chi #tiết
Trả lời