Hỏi: Viết phương trình mặt cầu?
Hồi đáp:
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:
(xa)²+(yb)²+(zc)²=R²
Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau là phương trình tổng quát của (S):
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
#M862105ScriptRootC1420804 { chiều cao tối thiểu: 300px; }
Tọa độ của tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:
Sau đây mời bạn đọc cùng trường Trường THPT Trần Hưng Đạo tìm hiểu kỹ hơn về phương trình mặt cầu qua bài viết dưới đây.
I/ KHÁI NIỆM CẦU
Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Không gian không đổi đó được gọi là bán kính. Điểm đã cho gọi là tâm của mặt cầu.
Một hình cầu cũng có thể được định nghĩa theo một vòng tròn xoay. Theo đó, mặt cầu là một mặt tròn xoay khi quay hình tròn quanh một đường kính.
II/ Phương trình mặt cầu
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:
(xa)²+(yb)²+(zc)²=R²
Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau là phương trình tổng quát của (S):
x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 (1)
Tọa độ của tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:
III/ MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Nhận dạng các yếu tố từ phương trình mặt cầu.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa về tâm và bán kính của mặt cầu:
– Một mặt cầu có phương trình dạng (x−a)2 + (y−b)2 + (z−c)2 = R2 với tâm (a;b;c) và bán kính R.
– Mặt cầu có phương trình dạng x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 có tâm I(−a;−b;−c)
Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.
Phương pháp chung:
* Cách 1: Dùng phương trình mặt cầu suy rộng.
– Tìm tâm và bán kính mặt cầu rồi viết phương trình ở các dạng trên.
* Cách 2: Dùng phương trình mặt cầu khai triển.
– Gọi mặt cầu có phương trình là x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
– Sử dụng điều kiện cho trước để tìm a, b, c, da, b, c, d.
Một số vấn đề thường gặp:
– Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước.
– Mặt cầu đường kính AB: có tâm là trung điểm của AB và bán kính
.- Mặt cầu đi qua 44 điểm A, B, C, D:
+) Gọi mặt cầu có phương trình là x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
+) Thay tọa độ các điểm vào phương trình và tìm a, b, c, d
Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm
Có nhiều cách để giải toán này. Trong đó cách nhanh hơn là chuyển tọa độ của 4 điểm về dạng phương trình tổng quát. Sau đó dùng máy tính bỏ túi giải hệ phương trình 4 ẩn số.
Ví dụ minh họa (Tự truyện):
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-1;-1;-1), B(1;0,0), C(0;2;0), D(0;0;3). Thiết diện của mặt câu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D có phương trình gì?
Câu trả lời:
Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp tuyến với đường thẳng
Có duy nhất một mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính R của mặt cầu này là khoảng cách từ I đến d.
Ví dụ minh họa (Tự truyện):
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;-1;3). Phương trình của mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là?
Câu trả lời:
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ I đến trục Oy: R=|-1|=1.
(Mẹo: Chiếu lên trục nào thì lấy giá trị tuyệt đối trục đó, ví dụ ở đây chiếu lên trục Oy ta chỉ cần lấy giá trị tuyệt đối của tọa độ).
Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là: (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=1
Dạng 5: Xác định tâm và bán kính mặt cầu bằng phương trình tổng quát
Hình minh họa:
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): 2x²+2y²+2z²-8x+8y-4z=0 có tâm và bán kính lần lượt là
A. I(-2;2;-1), R=3.
B. I(2;-2;1), R=3.
C. I(-2;2;-1), R=9.
D. I(2;-2;1), R=9.
Lời giải + Hướng dẫn:
Đầu tiên ta cần kiểm tra các hệ số của x², y², z², nếu khác 1 thì cần chia cả 2 vế cho số thích hợp. Trong bài học này, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 2 để được (S): x²+y²+z²-4x+4y-2z=0.
Tiếp theo để xác định tọa độ tâm mặt cầu ta lấy các hệ số của x, y, z chia cho -2 ta được: I(2;-2;1).
Để xác định bán kính của mặt cầu ta lấy tổng bình phương các tọa độ của tâm trừ đi hệ số tự do để được kết quả, sau đó lấy căn bậc hai.
Bán kính của hình cầu là R²=2²+(-2)²+1²-0=9⇒ R=3. Chọn đáp án B
Đăng bởi: Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Lớp 12 , Toán 12
Bạn thấy bài viết Cách Viết phương trình mặt cầu có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về Cách Viết phương trình mặt cầu bên dưới để Trường THPT Trần Hưng Đạo có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website của Trường Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Giáo dục
Trả lời