Bất đẳng thức cosi | Các dạng biểu diễn và kỹ thuật chứng minh

Bạn đang xem: Bất đẳng thức cosi | Các dạng biểu diễn và kỹ thuật chứng minh tại thpttranhungdao.edu.vn

Bất đẳng thức Cosi được ứng dụng phổ thông trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức từ cơ bản tới tăng lên. Bài viết này, TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO sẽ giúp bạn tìm hiểu cụ thể thông qua các dạng trình diễn và một số kỹ thuật chứng minh thường gặp nhất. Từ đó giúp độc giả nắm rõ thực chất và vận dụng một cách thuần thục vào các bài toán.

Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

Bất đẳng thức có tên gọi chuẩn xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên toàn cầu, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)

Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên ko chuẩn xác vì Cauchy ko phải là người đề xuất ra bất đẳng thức này nhưng mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh rực rỡ cho nó. Tuy nhiên, để cho thích hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy (Côsi).

Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và thân thuộc đối với phần lớn học trò nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các câu về bất đẳng thức và cực trị.

Các dạng trình diễn của bất đẳng thức Cauchy

Dạng tổng quát

+) Cho x₁, x₂, x₃, …, x_n là các số thực ko âm ta có:

Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x₁ = x₂ = … = x_n

Dạng 4

Cho x₁, x₂, x₃, …, x_n là các số thực dương ta có:

Dạng 5

Cho x₁, x₂, x₃, …, x_n là các số thực dương ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x₁ = x₂ = … = x_n

Một số dạng đặc trưng

Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

; ;

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Thẩm định từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất giám định bất đẳng thức Cosi theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi giám định, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra nhưng mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tiễn cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định tới hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải.

Vậy chọn điểm rơi trong BĐT là gì? Ý tưởng chính của khái niệm chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra lúc nào để có thể sử dụng những giám định hợp lý.

Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai trái là vận dụng ngay bất đẳng thức Cauchy nhưng mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu và dẫn tới nhiều sơ sót lúc chứng minh. Dưới đây là một vài Câu cho phương pháp tìm điểm rơi được trình diễn dưới dạng các sai trái thường gặp và cả lời giải chuẩn xác.

Phương pháp giải

Câu 1. Cho số thực a ≥ 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của:

Sai trái thường gặp

.

Vậy trị giá nhỏ nhất của A là 2.

Nguyên nhân sai trái

Trị giá nhỏ nhất của A là 2

, điều này ko xảy ra vì theo giả thiết thì a ≥ 2.

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy trị giá của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt trị giá nhỏ nhất lúc a = 2. Lúc đó ta nói A đạt trị giá nhỏ nhất tại “Điểm rơi a = 2”. Ta ko thể vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và

vì ko thỏa mãn dấu đẳng thức xảy ra. Vì vậy ta phải tách a hoặc để lúc vận dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xảy ra. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số sao cho tại “Điểm rơi a = 2” thì , ta có sơ đồ sau:

Lúc đó ta được:

và ta có lời giải như trên.

Lời giải đúng

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 2. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là

Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số

ta có thể chọn các các cặp số sau: hoặc hoặc .

Câu 2. Cho số thực a ≥ 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Sơ đồ điểm rơi

Sai trái thường gặp

Nguyên nhân sai trái

Mặc dù trị giá nhỏ nhất của A bằng

là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai trái trong giám định mẫu số: là sai.

Lời giải đúng

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 2. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là

.

Câu 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b =

. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Lúc đó ta có điểm rơi như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Do đó ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b =

. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là .

Câu 4. Cho số thực a ≥ 6. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức

.

Phân tích

Ta có:

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng.

Ta dự đoán A đạt trị giá nhỏ nhất lúc a = 6. Ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 6. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là 39

Câu 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + 2b + 3c ≥ 20. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được lúc a + 2b + 3c = 20 và tại điểm rơi a = 2, b = 3, c = 4.

Sơ đồ điểm rơi

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 2, b = 3, c = 4. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là 13.

Câu 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn ab ≥ 12; bc ≥ 8. Chứng minh rằng:

Phân tích

Dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được lúc ab = 12; bc = 8, tại điểm rơi a = 3; b = 4; c = 2. Lúc đó ta được ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng nhóm sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 3; b = 4; c = 2.

Câu 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Do A là biểu thức đối xứng với a và b nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b. Lúc đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là

.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c. Lúc đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c. Vậy trị giá nhỏ nhất của A là

.

Câu 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b =

. Lúc đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc

Vậy trị giá nhỏ nhất của A là 4.

Câu 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:

Phân tích

Dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b =

. Lúc đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:

Vậy trị giá nhỏ nhất của A là

.

Bình luận

Qua các Câu trên ta thấy, lúc giải các Câu chứng minh bất đẳng thức thì các giám định trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên việc xác định đúng vị trí điểm rơi xảy ra sẽ tránh cho ta sử dụng các giám định trung gian sai trái.

Trong giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi đúng sẽ chỉ cho ta cách chọn các giám định hợp pháp trong chuỗi các giám định nhưng mà ta cần phải sử dụng. Hiện thời ta đi tìm hiểu kỹ thuật giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân thông qua một số Câu sau.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:

(a² + b²)(b² + c²)(c² + a²) ≥ 8a²b²c²

Phân tích

Trước hết ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c.

Trong bất đẳng thức trên thì vế trái có các đại lượng a² + b²; b² + c²; c² + a² và vế phải chứa đại lượng 8a²b²c².

Quan tâm ta nhận thấy 8a²b²c² = 2ab⋅2bc⋅2ca, do đó rất tự nhiên ta nghĩ tới các giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân a² + b² ≥ 2ab; b² + c² ≥ 2bc; c² + a² ≥ 2ca.

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:

Ta có:

Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

(a² + b²)(b² + c²)(c² + a²) ≥ 8|a²b²c²| = 8a²b²c²

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Nhận xét

+) Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) lúc và chỉ lúc các vế cùng ko âm.

+) Quan tâm rằng ta sử dụng cách giám định

lúc chưa xác định được x, y âm hay dương.

+) Nói chung ta ít gặp Câu sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như Câu nói trên nhưng mà phải qua một vài phép chuyển đổi tới tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Câu 2. Cho a, b là các số thực dương ko âm tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b.

Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng

và vế phải có đại lượng 64ab(a + b)².

Quan tâm ta nhận thấy lúc a = b thì

và (a + b)² = 4ab, do đó rất tự nhiên ta nghĩ tới các giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số a + b và .

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:

Ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b.

Câu 3. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Chứng minh rằng:

.

Phân tích

Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b =

.

Lúc đó ta có: a² + b² = 2ab và

.

Quan tâm đại lượng a² + b² nằm ở mẫu nên ta cần tìm cách thêm vào 2ab để tạo (a + b)², do đó rất tự nhiên ta nghĩ tới giám định

Tương tự lúc này bên vế trái còn lại

, tới đây ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo .

Tương tự lúc này ta thấy vế trái còn lại

và ta cần chỉ ra được .

Điều này ko thể làm khó ta được vì dễ nhìn thấy được 4ab ≤ (a + b)² ≤ 1.

Tới đây ta trình diễn lại lời giải như sau:

Lời giải

Ta viết lại biểu thức vế trái thành:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số ko âm ta có các giám định sau:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Hay:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b =

.

Ta tiếp tục vận dụng giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các Câu sau đây.

Câu 4. Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là

.

Quan tâm ta nhận thấy

; , do đó ta sử dụng giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức.

Ngoài ra, quan tâm ta cũng có thể viết

, tới đây ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

, ta có:

Hay

. Bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a² + 1 = 1 ⇔ a = 0.

Ta cũng có thể trình diễn lời giải như sau: Chuyển đổi vế trái và vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc

Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a > b. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải ko chứa biến, nên lúc vận dụng vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết các biến, tương tự ta nhu yếu các đại lượng a – b; b, ngoài ra chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Quan tâm là a = b + a – b lúc đó ta vận dụng giám định cho 3 số dương

.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc

Câu 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Phân tích

Đây là bất đẳng thức Neibizt đã được chứng minh bằng phép chuyển đổi tương đương. Tuy nhiên ở đây ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem sao.

+) Hướng 1:

Quan tâm đẳng thức xảy ra lúc a = b = c nên lúc đó có:

.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số

; lúc đó ta được , vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Tương tự ta cần chứng minh được:

Thẩm định cuối cùng là một giám định sai. Do đó ta ko thể thực hiện chứng minh theo hướng thứ nhất được.

+) Hướng 2:

Quan tâm là

, lúc đó vận dụng tương tự được bất đẳng thức:

Hay

.

Dễ dàng chỉ ra được:

Và chú ý ta lại thấy:

Tới đây ta có lời giải như sau:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hay

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực ko âm. Chứng minh rằng:

Phân tích

Dự đoán đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c, để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể lũy thừa bậc 3 hai vế, lúc đó ta được: 

hay

.

Quan sát bất đẳng thức ta chú ý tới đẳng thức:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc

Tương tự bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được

và , rõ ràng hai giám định trên đúng theo bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hay:

Hay:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

và

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 8. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức được viết lại thành:

(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Dễ thấy đẳng thức ko xảy ra tại a = b = c = d, do đó để dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại đâu ta cần quan sát thật kỹ vai trò các biến trong bất đẳng thức.

Nhận thấy trong bất đẳng thức a và b, a + b và a + b + c và d có vai trò như nhau

Do đó ta dự đoán đẳng thức xảy ra lúc a = b; a + b = c; a + b + c = d hay 4a = 4b = 2c = d, rà soát lại ta thấy kết quả đúng vậy.

Tương tự lúc vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần chú ý bảo toán dấu đẳng thức. Trước hết ta có các giám định như sau:

; ;

Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được:

Tiếp tục vận dụng các giám định như trên ta được:

Tới đây ta thu được:

(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Chính là bất đẳng thức cần chứng minh.

Ngoài ra, để đơn giản hơn ta có thể thực hiện các giám định như:

(a + b)² ≥ 4ab;

(a + b + c)² ≥ 4c(a + b);

(a + b + c + d)² ≥ 4d(a + b + c).

Tới đây ta nhân theo vế và thu gọn thì được:

(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Hiện thời ta trình diễn lại lời giải như sau:

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Sử dụng liên tục bất đẳng thức Cauchy dạng (x + y)² ≥ 4xy, ta có:

(a + b + c + d)² ≥ 4d(a + b + c) ≥ 0;

(a + b + c)² ≥ 4c(a + b) ≥ 0;

(a + b)² ≥ 4ab ≥ 0.

Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta suy ra

(a + b)²(a + b + c)²(a + b + c + d)² ≥ 64abcd(a + b)(a + b + c)

Hay: (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc d = 2c = 4b = 4a > 0.

Ngoài ra, ta cũng có thể trình diễn lời giải như sau:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được:

Tiếp tục vận dụng các giám định như trên ta được:

Tới đây ta thu được:

(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)² ≥ 64abcd

Hay bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách giám định mẫu, ở đó ta chứng minh bất đẳng thức phụ a² + b² ≥ ab(a + b) bằng phép chuyển đổi tương đương. Trong Câu này ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ trên bằng giám định từ trung bình cộng sang trung bình nhân.

Ta viết lại bất đẳng thức phụ trên thành a³ + b³ ≥ a²b + ab², lúc đó ta có các giám định là a³ + a³ + b³ ≥ 3a²b; a³ + b³ + b³ ≥ 3ab². Tới đây cộng theo vế ta thu được bất đẳng thức trên. Tới đây ta trình diễn lời giải như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a³ + a³ + b³ ≥ 3a²b; a³ + b³ + b³ ≥ 3ab²

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

a³ + b³ ≥ a²b + ab²

Suy ra: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Từ đó ta được:

Chứng minh tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Nhận xét

Lúc đi tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, cái làm khó ta chính là phải phát xuất hiện bất đẳng thức phụ a² + b² ≥ ab(a + b). Trong quá trình đó yêu cầu ta phải có sự phân tích tỉ mỉ và có những định hướng rõ ràng, còn trình diễn chứng minh bất đẳng thức thì cách nào cũng được miễn sao càng gọn càng tốt.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c, lúc đó ta được

, do đó đẳng thức sẽ xảy ra tại a = b = c = 1.

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của bất đẳng thức phức tạp hơn nên ta chọn giám định bên vế trái trước. Từ chiều bất đẳng thức ta cần phải thay các mẫu bởi các đại lượng nhỏ hơn, tức là ta cần có giám định a⁶ + b⁴ ≥ ?, cho nên một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy, lúc đó ta có a⁶ + b⁴ ≥ 2a³b², giám định này vẫn được bảo toàn dấu đẳng thức.

Lúc này ta được

và vận dụng tương tự thì ta sẽ thu được:

Việc chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được

, nhưng đây là một giám định đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó Câu được chứng minh.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số ta được:

Ta cần chứng minh được:

Thật vậy, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

; ;

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong giám định từ trung bình nhân sang trung bình cộng

Phương pháp giải

Thẩm định từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là giám định bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi giám định đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra. Dưới đây là một số Câu sử dụng kỹ thuật giám định từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Sai trái thường gặp

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai trái ở đây là gì?

Nguyên nhân sai trái

Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết.

Phân tích tìm lời giải

Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau

+) Đẳng thức xảy ra tại đâu?

+) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số nào?

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c =

, từ đó ta có a + b = b + c = c + a = .

Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số là a và

,…

Tới đây ta có lời giải đúng như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho hai số ko âm ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Sai trái thường gặp

Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai trái ở đây là gì?

Nguyên nhân sai trái

Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết.

Phân tích tìm lời giải

Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau

+) Đẳng thức xảy ra tại đâu?

+) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số?

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c =

, từ đó ta có a + b = b + c = c + a = .

Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là a,

và ,…

Tới đây ta có lời giải đúng như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho các số thực dương ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Do vai trò của các biến a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c = 1, từ đó ta có a + 2b = b + 2c = c + 2a = 3 và 3a = 3b = 3c = 3.

Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là 3a, b + 2c và 3,…

Tới đây ta có lời giải như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho các số thực dương ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ tới giám định

.

Trước nhất ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =

, lúc đó ta có 2a = b + c và b = c nên ta có giám định như sau:

Vận dụng tương tự ta được:

Tới đây ta trình diễn lại lời giải như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho hai số dương. Ta có:

Tương tự ta có:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trong chủ đề thứ hai ta đã chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp sử dụng tính chất của tỉ số, nhưng ở đó điều kiện của Câu cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Với Câu này ta ko chứng minh được tương tự nhưng mà phải sử dụng các giám định khác. Quan sát bất đẳng thức ta thấy cần phải khử các căn bậc hai bên vế trái.

+) Cách thứ nhất là bình phương hai vế, tuy nhiên lúc đó bên vế trái vẫn còn chứa căn bậc hai, do đó ta ko nên sử dụng cách này.

+) Cách thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

, quan tâm tới chiều của bất đẳng thức nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số. Từ đó một cách tự nhiên ta nghĩ tới phép chuyển đổi và vì ko cần quan tâm tới dấu đẳng thức xảy ra nên ta có giám định . Tới đây chỉ cần vận dụng tương tự cho hai căn thức còn lại là Câu được chứng minh.

Lời giải

Vì a là số thực dương nên ta có:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 0, điều này trái với giả thiết a, b, c là các số thực dương. Do vậy đẳng thức ko xảy ra.

Tức là ta được:

Vậy Câu được chứng minh.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực ko âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan tâm tới giả thiết a + b + c = 3, ta thu được c = 3 – (a + b), lúc đó ta có:

a² + b² + 6c = a² + b² + 6(3 – a – b) = (3 – a)² + (3 – b)²

Lại cũng từ giả thiết trên ta có a + b = 3 – c. Lúc đó:

Tới đây để đơn giản hóa ta đặt x = (3 – a)² > 0; y = (3 – b)² > 0; z = (3 – c)² > 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là

, đây chính là bất đẳng thức ở Câu trên.

Lời giải

Từ giả thiết a + b + c = 3, ta có:

a² + b² + 6c = a² + b² + 6(3 – a – b) = (3 – a)² + (3 – b)²

Do a, b, c là các số thực dương nên từ a + b + c = 3 ta suy ra 0 < a, b, c < 3.

Do đó ta được:

Vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Đặt x = (3 – a)² > 0; y = (3 – b)² > 0; z = (3 – c)² > 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là:

Tới đây ta chứng minh tương tự như Câu trên.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức

, tuy nhiên nếu sử dụng ngay thì ta chỉ giám định cho các tử số được, tương tự dưới mẫu vẫn còn chứa căn thức. Cho nên để sử dụng được bất đẳng thức đó ta cần phải khử được các căn ở dưới mẫu trước, tuy nhiên việc này ko thực hiện được. Chú ý tới chiều bất đẳng thức ta thấy, chỉ cần đổi được chiều bất đẳng thức thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức trên có các căn thức ở mẫu và việc khử các căn ở tử số cũng đơn giản hơn. Từ sự phân tích đó ta có thể làm như sau:

Lúc này vận dụng bất đẳng thức

ta được , thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Vận dụng bất đẳng thức

ta được:

; ;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Nhận xét

Lúc giám định một bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cauchy nếu bị ngược chiều thì ta có thể đổi chiều bất đẳng thức bằng cách nhân hai vế với −1 rồi cộng thêm hằng số để cả hai vế đều dương. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy như trên còn được gọi là kỹ thuật Cauchy ngược dấu, vấn đề này sẽ được bàn cụ thể hơn trong chủ đề “Kỹ thuật Cauchy ngược dấu”

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực ko âm thỏa mãn ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước nhất ta thử với a = b = c thấy rằng dấu đẳng thức ko xảy ra, nên ta dự đoán nó xảy ra tại một biến bằng 0, điều này càng có cơ sở lúc Câu cho a, b, c ko âm. Cho c nhận trị giá 0 và a = b thì dấu đẳng thức xảy ra. Tương tự ta chọn được điểm rơi của bất đẳng thức là a = b; c = 0 và các hoán vị. Cũng từ điều kiện ab + bc + ca > 0 ta thấy trong ba số có nhiều nhất một số bằng 0. Do đó lúc giám định bất đẳng thức ta cần chú ý tới bảo toán dấu bằng.

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy a² + bc + a(b + c) = (a + b)(a + c), tương tự nếu dưới mẫu có tích

thì theo chiều bất đẳng thức cần phải chứng minh ta có ngay giám định:

Nhưng để có được điều này ta phải nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số trong căn với tử số. Tuy nhiên vì cho các biến a, b, c ko âm nên việc nhân thêm ko thể thực hiện được. Trong tình huống này chú ý tới điểm rơi và nhận xét trong a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0 ta có thể chia trường hợp để giám định bất đẳng thức.

+) Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng 0 và ta giả sử là c, lúc đó bất đẳng thức trở thành

, bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.

+) Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, lúc này thì việc nhân thêm ko bị ảnh tác động gì tới các giám định cả. Tới đây ta có giám định như sau:

Vận dụng tương tự ta được:

;

Lúc này ta được bất đẳng thức:

Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:

Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được:

Thẩm định cuối cùng hiển nhiên đúng, ta trình diễn lại lời giải như sau:

Lời giải

Vì các số a, b, c ko âm và ab + bc + ca > 0 nên trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:

+) Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng ko, lúc đó ko mất tính tổng quát ta giả sử c = 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

+) Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, lúc đó ta có:

Vận dụng tương tự ta được:

;

Lúc này ta được bất đẳng thức

Ta cần chứng minh được:

Chuyển đổi tương đương và thu gọn ta được:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do 4abc > 0 và đẳng thức ko xảy ra trong trường hợp này.

Vậy Câu được chứng minh xong.

Nhân xét

Trong chứng minh bất đẳng thức việc chia trường hợp để chứng minh gây ra nhiều khó khăn. Do đó nếu tìm được một cách giải nhưng mà ko cần phải quan tâm tới việc xét các trường hợp thì sẽ tốt hơn nhiều. Với Câu trên ta thử tìm lời giải khác nhưng mà ko phải chia trường hợp xem sao?

Cũng xuất phát từ nhận xét như trên nhưng nhưng mà lúc tích

nằm ở trên tử thì ko tác động gì cả. Do đó ta có giám định như sau:

Suy ra:

Tới đây ta nhân cả hai vế với

thì ta được:

Hay

và công việc còn lại hoàn toàn như trên.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước nhất ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 2, chú ý tới hằng đẳng thức b³ + 1 = (b + 1)(b² – b + 1) và lúc b = 2 thì b + 1 = b² – b + 1 = 3 do đó ta có giám định sau:

Từ đây ta suy ra được

, vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Ta cần phải chứng minh được

, tới đây ta giám định trên tử số hay dưới mẫu đều được bất đẳng thức ngược chiều. Do đó một cách tự nhiên ta nghĩ tới tư tưởng Cauchy ngược dấu, tức là ta chuyển đổi có , chú ý tới đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 2 ta lại có:

Vận dụng tương tự ta được:

Nhưng mà theo một giám định thân thuộc ta có:

Tới lúc này ta có:

Đây chính là điều cần phải chứng minh. Ta trình diễn lại lời giải như sau.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

ta được:

Vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Ta cần phải chứng minh được:

Thật vậy, ta có

, nhưng mà cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được:

Suy ra:

Chứng minh tương tự ta được:

Mặt khác theo một giám định thân thuộc ta có:

Do đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan tâm là:

Do đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được. Do đó:

Lời giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và liên kết giả thiết, ta có:

Tương tự ta được:

;

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy

Phương pháp giải

Trong nhiều Câu nhưng mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở thành khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để Câu trở thành đơn giản.

Ở các Câu bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:

Dạng 1: Chứng minh X + Y + Z ≥ A + B + C.

+) Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh được

Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y + Z ≥ 2B; Z + X ≥ 2C (nhờ tính chất đối xứng của Câu).

Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có:

X + Y + Z ≥ A + B + C

+) Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh được

Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ ≥ B²; ZX ≥ C² (nhờ tính chất đối xứng của Câu).

Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.

Dạng 2: Chứng minh XYZ ≥ ABC với X, Y, Z ≥ 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY ≥ A².

Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ ≥ B²; ZX ≥ C² (nhờ tính chất đối xứng của Câu). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:

Chú ý một số cách ghép đối xứng:

Phép cộng:

Phép nhân:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Câu này có dạng X + Y + Z ≥ A + B + C, trong đó:

Quan tâm rằng hai biểu thức

và là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó sử dụng kỹ thuật ghép cặp ta sẽ thử chứng minh

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

;

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

abc ≥ (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)

Phân tích

Nếu (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Ta xét trường hợp: (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≥ 0.

Quan tâm rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ ≥ ABC, vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh b² ≥ (a + b – c)(b + c – a)

Lời giải

Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó ko mất tính tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c.

Lúc đó: a + b – c ≥ 0 và a + c – b ≥ 0.

+) Nếu b + c – a < 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

+) Nếu b + c – a ≥ 0. Lúc này ta có b + c – a; c + a – b; a + b – c là các số dương.

Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng (x + y)² ≥ 4xy, suy ra:

Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Câu được khắc phục xong. Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Nhận xét

Lúc chưa xác định được các số ko âm nhưng mà vận dụng ngay bất đẳng thức Cauchy thì sẽ dẫn tới sai trái. Trong tình huống đó ta có thể chia nhỏ thành các trường hợp riêng để chứng minh Câu.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan tâm là

, vận dụng tương tự và cộng theo vế các bất đẳng thức thu được.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta được:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Hay

Câu được khắc phục xong. Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan tâm là theo bất đẳng thức Cauchy ta có

và cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

Vận dụng tương tự ta được:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Do đó ta suy ra:

Ta cần chứng minh được:

Thẩm định cuối cùng là một giám định đúng theo bất đẳng thức Cauchy và giả thiết abc = 1.

Câu được khắc phục xong. Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

Phân tích

Từ giả thiết ta thu được (p – a); (p – b); (p – c) là các số dương và chú ý tới p – a + p – b = c.

Do đó ta nghĩ tới giám định:

Tương tự ta có thể chứng minh bất đẳng thức như sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Câu được khắc phục xong. Dấu bằng xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 10a² + 10b² + c² ≥ 4

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

10a² + 10b² + c² ≥ 4(ab + bc + ca) = 4⋅1 = 4

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:

Nhận xét:

Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên. Chúng ta sẽ thắc mắc vì sao lại tách được 10 = 8 + 2. Nếu tách cách khác, chẳng hạn 10 = 6 + 4 liệu có giải được ko? Tất nhiên mọi cách tách khác đều ko dẫn tới kết quả, và tách 10 = 8 + 2 cũng ko phải là sự may mắn. Hiện thời ta sẽ tìm lí do việc tách 10 = 8 + 2 ở Câu trên.

Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò của a, b như nhau nên ta cần chia đều c ra thành hai phần và cũng lấy ra ka, kb để ghép cặp với

. Tức là với 0 < k < 10. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:

Lúc này ta thăng bằng hệ số để làm xuất hiện giả thiết, tức là:

Ta chọn trị giá k = 8 . Lúc đó ta có lời giải Câu như trên.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 5. Chứng minh rằng: 3a² + 3b² + c² ≥ 10

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:

3a² + 3b² + c² ≥ 2(ab + bc + ca) = 2⋅5 = 10

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = 1; c = 2

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab ≥ 12, bc ≥ 8. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta dự đoán được đẳng thức ra tại a = 3, b = 4, c = 2. Lúc đó ta sẽ tách các đại lượng bên vế trái và vận dụng bất đẳng thức Cauchy, chú ý là quá trình ghép cặp phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Với phân tích đó ta thực hiện ghép cặp như sau:

;

;

Cộng các kết quả trên ta được

, lúc này ta cần phải chứng minh được . Quan tâm là nếu hiện giờ ta ghép cặp bốn đại lượng trên thì sẽ ko bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên ta sẽ ghép cặp để triệt tiêu đại lượng trước, do đó ta có giám định . Cuối cùng bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được chỉ ra được .

Thực hiện ghép cặp tương tự như các Câu trên ta có các giám định sau

; , cộng theo vế hai giám định đó ta được điều phải chứng minh.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

; ;

;;

;

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 3; b = 4; c = 2.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

Quan tâm bên vế phải ta viết được thành:

Do đó ta nghĩ tới bất đẳng thức Cauchy với các nhóm:

Lúc này ta được:

Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:

hay

Rõ ràng giám định cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải

Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:

⇔

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

hay

Suy ra:

Hay

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Kỹ thuật thêm bớt trong BĐT CôSi

Phương pháp giải

Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào hình thức của một Câu. Thì từ đây ta khởi đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức nhưng mà lời giải cho chúng luôn yêu cầu một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc khắc phục vấn đề.

Ngay từ đây chúng ta sẽ khởi đầu làm quen với kỹ thuật này với những Câu nhưng mà cách giám định nó tương đối nhiều chủng loại.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng phép chuyển đổi tương đương và cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên hiện giờ ta sẽ vận dụng ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Câu. Dễ dàng nhìn thấy ko thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cũng ko thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để khắc phục Câu. Ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bên vế trái xuất hiện các đại lượng

và bên vế phải có đại lượng a + b + c, chú ý tới dấu đẳng thức xảy ra ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp sau

Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp trên, trước hết ta cần phải thêm vào vế trái một tổng a + b + c rồi mới thực hiện ghép theo cặp.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:

; ;

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Vận dụng ý tưởng như trên, tuy nhiên ở đây ta cần triệt tiêu b + c ở dưới mẫu nên ta thêm cho

một số và chú ý tới dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c nên ta tìm được k = 4. Do đó ta có lời giải như sau.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:

;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Suy ra:

Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể chứng minh được Câu theo ý tưởng như trên, nhưng ta cần trả lời được các câu hỏi đặt ra là

+) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số?

+) Các đại lượng được thêm vào có dạng như thế nào?

Quan tâm tới đại lượng

ta thấy nên vận dụng bất đẳng thức cho ba số, lúc đó đại lượng thêm vào cần triệt tiêu được tích (b + 1)(c + 1) ở dưới mẫu, do đó ta nghĩ tới các đại lượng kiểu với k là một số dương nào đó. Chú ý tới dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, lúc đó sẽ cho ta k = 4. Vì vậy ta có chứng minh sau:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Vận dụng tương tự ta được:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được:

Hay

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy liên kết với giả thiết abc = 1, ta lại có:

Suy ra:

Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích:

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, lúc đó ta chú ý tới giám định sau:

và vận dụng tương tự.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:

;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có

. Do đó:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 5. Cho a, b, c độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích:

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, lúc đó ta chú ý tới giám định sau:

Và vận dụng tương tự.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Vậy Câu được chứng minh xong.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c, lúc đó ta chú ý tới giám định:

Và vận dụng tương tự.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương:

Từ đó suy ta:

Tương tự ta có:

;

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khác so với các Câu trên, tuy nhiên đẳng thức vẫn xảy ra tại a = b = c. Quan tâm hai đại lượng đầu ta sử dụng cách thêm – bớt như các Câu trên thì được:

;

Lúc đó ta được:

Và ta cần phải chứng minh được:

Hay

Thẩm định cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta được:

;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bên trái có đại lượng

và vế phải lại chứa , do đó để sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng ta cần làm xuất hiện đại lượng a² – ab + b², do đó ta quan tâm tới phép chuyển đổi:

Lúc này chú ý tới dấu đẳng thức xảy ra ta có giám định:

Vận dụng hoàn toàn tương tự ta được:

Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được một trong hai khả năng sau:

Quan tâm ta nhận thấy

do đó khả năng thứ nhất luôn đúng.

Tương tự Câu được chứng minh.

Lời giải

Ta có:

Tương tự ta được:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:

Suy ra :

Ta cần chứng minh được:

Hay

Bất đẳng thức cuối cũng chính là bất đẳng thức trong Câu 1.

Vậy Câu được chứng minh xong.

Nhận xét: Từ những Câu trên ta đã thấy được sự hiệu quả của kỹ thuật thêm – bớt trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên ko phải với bất đẳng thức nào cũng có thể làm được theo cách như trên, nhưng mà thỉnh thoảng ta cần phải thực hiện việc chuyển đổi tương bất đẳng thức trước rồi mới thực hiện thêm bớt. Dưới đây là một số Câu tương tự.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Nhận thấy ta chưa thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giám định ngay bất đẳng thức trên, do đó ta cần chuyển đổi bất đẳng thức thành

, tới đây ta cũng chưa thể vận dụng được bất đẳng thức Cauchy. Hiện thời ta cần tìm cách loại đi các dấu trừ mới có thể vận dụng được, quan tâm tới lúc này ta có thể vận dụng được bất đẳng thức Cauchy.

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:

Quan tâm rằng:

;

;

Vậy sau lúc thêm bớt tương tự, ta đã quy Câu về chứng minh.

Mặt khác bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì

Phép chứng minh hoàn thành. Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 10. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với:

Vậy ta cần chứng minh:

Hay là:

Điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy bộ ba số ta có:

Câu được khắc phục. Bất đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1

Câu 11. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1. Quan sát bất đẳng thức thì điều trước hết là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ta xem có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy được ko? Nhận thấy dưới các mẫu có chứa căn bậc hai và ta tìm cách khử căn trước.

Chú ý tới chiều bất đẳng thức ta có giám định

, lúc đó ta được , hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức:

Ta cần chỉ ra được:

Quan tâm tới giám định

, vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Tới đấy Câu được chứng minh xong.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

suy ra

Vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Ta cần chứng minh được:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Câu 12. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

suy ra

Vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Ta cần chứng minh được:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Hay:

Chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:

Thật vậy, từ giả thiết ta có a² + b² + c² ≥ 3

Và a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

Do đó suy ra:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Câu 13. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần phải chuyển đổi bất đẳng thức trên sao cho vế phải là một số khác ko, điều này làm ta nghĩ tới cộng vào hai vế của bất đẳng thức với một số dương nào đó?

Quan tâm ta thấy:

Lúc đó để làm mất dấu từ ta cộng thêm 3 thì được

, thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức:

Tới đây ta áp dùng bất đẳng thức Cauchy thì được:

Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)

Tới đây ta chuyển đổi tương đương đổi tương đương thì được:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)

⇔ abc + a + b + c + 1 ≥ a²b²c² + abc(a + b + c) + 1

⇔ abc(1 – abc) + a + b + c(1 – abc) ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do abc ≤ 1. Tới đây ta trình diễn lại lời giải như sau:

Lời giải

Quan tâm ta thấy:

Vận dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh là:

Bất đẳng thức trên tương đương với:

Hay

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)

Tới đây ta chuyển đổi tương đương đổi tương đương thì được

(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)

⇔ abc + a + b + c + 1 ≥ a²b²c² + abc(a + b + c) + 1

⇔ abc(1 – abc) + a + b + c(1 – abc) ≥ 0

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

suy ra abc ≤ 1.

Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy Câu được chứng minh xong.

Nhận xét: Thông qua các Câu trên ta nhận thấy được hiệu quả của kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Cauchy.

+) Bất đẳng thức Cauchy có thể giúp ta loại trừ các rào cản như các căn thức, các lũy thừa bậc cao,…

+) Kỹ thuật thêm – bớt có thể giúp ta đối xứng hóa bất đẳng thức cũng như các giám định hợp pháp trong quá trình tìm lời giải.

+) Chú ý tới điểm rơi giúp ta bảo toàn dấu đẳng thức trong chuỗi giám định.

Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Phương pháp giải

Trong quá trình tìm lời giải cho một Câu bất đẳng thức, một sai trái thường gặp đó là sau một loạt các giám định ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm ko ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta tĩnh tâm suy nghĩ một tí thì thấy với giám định ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì ngay lập tức giám định đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khôn khéo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất thần tới ngạc nhiên lúc khắc phục lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. Chúng ta sẽ khởi đầu làm quen với một số Câu sau.

Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích:

Quan sát bất đẳng thức ko ít bạn sẽ giám định a² + 1 ≥ 2a, vận dụng tương tự lúc đó ta được bất đẳng thức:

Tuy nhiên bất đẳng thức thu được lại bị ngược chiều. Tới đây chúng ta sẽ bị bối rối trong cách giải. Ta vẫn phải giám định mẫu nhưng nếu có thể thêm được dấu âm trước giám định đó thì tốt biết mấy. Điều ta mong muốn sẽ được khắc phục bằng phép chuyển đổi sau đây:

Tới đây thì ta có thể giám định mẫu nhưng mà ko sợ bị ngược chiều nữa.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Hoàn toàn tương tự ta có:

Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Phân tích

Nếu vận dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp ta thu được:

Do đó ta sẽ vận dụng bất đẳng Cauchy theo ý tưởng như trên.

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Quan tâm là:

Do đó ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a + b + c = 1.

Nhận xét

Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của một giám định theo bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với –1. Lúc đó bất đẳng thức lúc đầu sẽ ko bị đổi chiều. Dưới đây là một số Câu tương tự.

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác theo một giám định thân thuộc:

Do đó ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Câu được khắc phục. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Nhưng mà theo một giám định thân thuộc ta có:

Do vậy ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Suy ra ta có:

Hoàn toàn tương tự ta có:

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác ta có theo một giám định thân thuộc ta được:

Và

Do đó ta được:

Hay

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác ta lại có:

Do đó ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có;

;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác ta có:

Hoàn toàn tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Suy ra ta có:

Do đó ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Do đó ta có:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 11. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4.

Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Vận dụng tương tự ta được:

Vận dụng tương tự ta được:

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Do vậy ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = d = 1.

Câu 12. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Hoàn toàn tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Câu được khắc phục. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = d = 1

Câu 13. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Hoàn toàn tương tự ta được:

; ;

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta được:

Nhưng mà ta có:

Do đó ta được:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = d = 1.

Kỹ thuật đổi biến số

Phương pháp giải

Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Câu sẽ trở thành đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một dụng cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho a, b là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay ko.

Với kết quả tương tự ta có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn.

Lời giải

Quan tâm rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:

Đặt:

ta có t ≥ 4.

Từ đó suy ra:

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t ≥ 4. Câu được khắc phục hoàn toàn.

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = ±b.

Câu 2. Cho các số thực a, b, c > 2 thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

(a – 2)(b – 2)(c – 2) ≤ 1

Phân tích

Để triệt tiêu các dấu trừ trong bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đổi biến x = a – 2; y = b – 2; z = c – 2, lúc đó giả thiết trở thành

và ta cần chứng minh xyz ≤ 1. Đây là một bất đẳng thức có thể chứng minh bằng cách ghép cặp đối xứng. Tuy nhiên trong lời giải dưới đây ta chứng minh Câu bằng kỹ thuật đổi biến.

Lời giải

Đặt x = a – 2; y = b – 2; z = c – 2 với x, y, z là các số thực dương.

Câu quy về chứng minh xyz ≤ 1 với x, y, z > 0 thỏa mãn:

Tới đây ta đặt tiếp:

Lúc đó ta có:

Tương tự ta được:

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Câu được khắc phục xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:

m = n = p ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 3.

Câu 3. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

Phân tích

Giả thiết abc = 1 gợi ý cho ta cách đổi biến

với x, y, z là các số thực dương.

Lời giải

Đặt

với x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Vận dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Tương tự ta có:

Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:

Chứng minh hoàn thành. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. chứng minh rằng:

Phân tích

Ta nhận thấy sự tương tự của bất đẳng thức trên với bất đẳng thức

Do đó ý tưởng trước hết đó ta đặt x³ = a; y³ = b; z³ = c, lúc này ta vẫn được xyz = 1 và lúc đó ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh:

Ngoài ra từ giả thiết abc = 1, ta có thể sử dụng các phép đổi như sau:

Lời giải

Đặt x³ = a; y³ = b; z³ = c, lúc đó ta được xyz = 1.

Bất đẳng thức càn chứng minh trở thành:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy) ≥ xy(x + y)

Lúc đó ta được:

Chứng minh tương tự ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải chứa căn bậc ba. Do đó điều trước hết ta nghĩ tới là làm mất các căn bậc ba này và ta có hai ý tưởng đổi biến để làm mất căn bậc ba là

+) Đặt

. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

+) Đặt abc = k³. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Ta thử chứng minh Câu với các cách đổi biến trên như sau:

Lời giải

Đặt

. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Ta có:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:

Từ đó suy ra:

Mặt khác ta lại có:

Do đó ta được:

Chứng minh hoàn thành. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Nhận xét

Ta cũng có thể chứng minh Câu trên theo cách sau

Với cách đặt abc = k³, lúc đó tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho:

Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hay:

Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c.

Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Ta viết lại giả thiết thành

, điều này gợi ý cho ta các đặt biến phụ .

Lúc đó giả thiết của Câu trở thành: xy + yz + zx = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Chú ý tới xy + yz + zx = 1 ta viết được:

Lúc đó ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là:

Tới đây ta sử dụng giám định Cauchy để khắc phục Câu.

Lời giải

Từ giả thiết a + b + c = abc suy ra

Đặt

, Lúc đó giả thiết của Câu trở thành xy + yz + zx = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Dễ thấy:

Tương tự ta được:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Ta cần chứng minh:

Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

Tương tự bất đẳng thức lúc đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =

.

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Để đơn giản hóa các đại lượng vế trái ta có thể đặt:

Lúc đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành :

Tới đây ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy để giám định tiếp.

Lời giải

Đặt x = 2a + 3b + 3c; y = 3a + 2b + 3c; z = 3a + 3b + 2c, lúc đó ta được:

Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được:

Do đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

Hay

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Do đó ta được:

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:

Câu được chứng minh xong.

Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có tín hiệu đặt biến phụ, do đó ta cần phải chuyển đổi bất đẳng thức trước. Ở đây ta chọn chuyển đổi vế trái trước:

Quan sát biểu thức sau lúc chuyển đổi ta thấy cần phải giám định

về , điều này tức là ta cần chứng minh được a³ + b³ ≥ k(a + b)³, chú ý tới dấu đẳng thức xảy ra ta tìm được k = .

Tương tự ta đi chứng minh a³ + b³ ≥

(a + b)³, đây là một giám định đúng và có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Tới đây ta có thể đặt

và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành .

Chú ý lúc này đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 2 và ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Câu trên.

Lời giải

Bất đẳng thức được viết lại là:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Suy ra:

Vận dụng tương tự ta có bất đẳng thức:

Ta cần chứng minh:

Đặt

, bất đẳng thức trở thành:

Hay: 12 + x³ + y³ + z³ ≥ 6(x + y + z)

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

x³ + 8 + 8 ≥ 12x;

y³ + 8 + 8 ≥ 12y;

z³ + 8 + 8 ≥ 12z.

Suy ra: x³ + y³ + z³ + 48

≥ 12(x + y + z) = 6(x + y + z) + 6(x + y + z)

≥ 6(x + y + z) + 36

Hay 12 + x³ + y³ + z³ ≥ 6(x + y + z)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

Phân tích

Cũng tương tự như Câu trên ta cần chuyển đổi bất đẳng thức trước lúc đưa ra cách đổi biến. Trong Câu này ta chọn các chuyển đổi vế phải

Lúc này quan tâm ta thấy cả hai vế xuất hiện các đại lượng

, lại quan tâm ta nhận thấy rằng .

Do đó ta có thể đặt

, lúc đó ta được xyz = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Tới đây ta có lời giải sau

Lời giải

Đặt

suy ra xyz = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Nên (x + y + z)² ≥ 3(x + y + z)

Ta cũng có: 2(x + y + z)² ≥ 3(xy + yz + zx)

Do đó ta được: (x + y + z)² ≥3(xy + yz + zx) + 3(x + y + z)

Hay

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn c = 8ab. Chứng minh rằng:

Phân tích

Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy sự khác lạ của giả thiết cũng như bất đẳng thức cần chứng minh so với các Câu ở trên. Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò của a, b như nhau. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b. Mặt khác ta thấy tử của biểu thức thứ hai và thứ ba có biến c, do đó nếu ta viết lại hai biểu thức đó như biểu thức thứ nhất thì dưới mẫu xuất hiện đại lượng

, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xảy ra tại , lúc này ta viết lại giả thiết là . Tới đây ta thấy được cách đặt là và bất đẳng thức được viết lại thành:

Tuy nhiên từ hình thức của bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức thân thuộc:

Do đó ta chọn cách đặt

để đưa Câu về dạng thân thuộc.

Lời giải

Đặt

. Lúc đó từ giả thiết ta được xyz = 1.

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

2x² + y² + 3 = x² + y² + x² + 1 + 2 ≥ 2(xy + x + 1)

Do đó ta được:

Ta chứng minh:

theo các cách sau

Cách 1: Do xyz = 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để

Lúc đó ta có:

Cách 2: Do xyz = 1, nên ta được

Suy ra P ≤

. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z = 1 hay a = b =

; c = 2.

Câu 13. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng:

Phân tích

Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c =

.

Giả thiết của Câu được viết lại thành

Lúc đó để đơn giản hóa giả thiết ta có thể đổi biến

, lúc này giả thiết mới là x + y + z = 2 với 0 < x, y, z < 2. Cũng từ cách đặt trên ta suy ra được , thay vào bất đẳng thức cần chứng minh thì được:

Tới đây ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách thêm bớt hoặc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

Lời giải

Từ giả thiết ab + bc + ca = 2abc suy ra

Đặt

, lúc đó ta có x + y + z = 2

Bất đẳng thức được viết lại là:

Hay

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Hay

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Nhận xét

Ngoài cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức

Câu 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:

Lời giải

Từ giả thiết ab + bc + ca = 3abc ta được

Đặt

. Lúc đó ta được: x + y + z = 3.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Vận dụng tương tự ta được:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

Suy ra:

Do đó ta được:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.

Câu 15. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Phân tích

Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết bằng cách đặt

, lúc này giả thiết được viết lại thành và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Chú ý tới giả thiết

ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là:

Quan tâm theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Tương tự ta được:

Tới đây vận dụng tương tự ta được:

Lời giải

Đặt

.

Lúc đó ta được:

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Vận dụng một bất đẳng thức Cauchy khác ta được

Tương tự ta có:

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =

.

Nhận xét:

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức:

Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

4(x² + 3y²) = (1 + 1 + 1 + 1)(x² + y² + y² + y²) ≥ (x + 3y)²

Do đó ta được:

Câu 17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích:

Quan tâm là

. Do đó ta đặt:

Lời giải

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

Đặt:

, suy ra xyz = 1.

Biểu thức P được viết lại thành:

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2)

Triển khai và thu gọn ta được: xy + yz + xz ≥ 3

Thẩm định cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy và xyz = 1.

Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Nhận xét

Ta có thể chứng minh Câu trên theo cách khác như sau

Biểu thức vế trái được viết lại là:

Đặt

Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Do đó ta có:

Suy ra:

Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.

Câu 18. Cho a, b, c là các số thực dương ko âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt

. Từ giả thiết ta được x² + y² + z² = 3

Lúc này bất đẳng thức trở thành:

P = x³ + y³ + z³ – xyz ≤

Ko mất tính tổng quát ta giả sử x ≥ y ≥ z. Lúc đó ta có:

z² ≤ xy; x² + y² = 3 – z² ≤ 3

Do đó ta có:

x³ + y³ + z(z² – xy) ≤ x³ + y³

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

Suy ra x³ + y³ ≤

nên ta được P ≤ . Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:

x =

; y = z = 0 và các hoán vị ⇔ a = 3; b = c = 0 và các hoán vị

Bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 3; b = c = 0 và các hoán vị.

Nhận xét

Qua các Câu trên ta nhận thấy, đổi biến có một vai trò to lớn trong chứng minh bất đẳng thức, đổi biến có thể làm một bất đẳng thức trở thành đơn giản, đổi biến có thể đưa một bất đẳng thức hoán vị về bất đẳng thức đối xứng. Chúng ta cùng tham khảo thêm một số Câu khác sau đây để thấy được sự lạ mắt của kỹ thuật đổi biến

Kỹ thuật thêm nghịch đảo

Phương pháp giải

Đây là một kỹ thuật nhưng mà nếu ko nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm trị giá nhỏ nhất của

với x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1.

Lời giải

Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhưng ta cũng có thể làm như sau:

Dấu bằng xảy ra lúc x + y = 1 và 3x² = 2y²

Lúc

Câu 2. Cho x, y, z thoả nguyện x² + y² + kz² = M (k là hằng số dương; M là số ko âm cho trước). Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .

Phân tích và tìm lời giải

Do vai trò đồng đẳng của x, y nên có thể dự đoán trị giá lớn nhất đạt được lúc x = y và các thao tác đối với x và y là “giống nhau”.

Ta tách: x² = mx² + (1 – m)x² và y² = my² + (1 – m)y² (0 ≤ m ≤ 1) đồng thời “chia đều”

cho cả x và y.

Vận dụng BĐT Côsi như sau:

Để xuất hiện biểu thức S = xy + yz + zx ta cần chọn m sao cho:

Lúc đó cộng vế theo vế suy ra:

Vậy GTLN của

(x, y, z cùng dấu).

Vận dụng: Cho x, y, z thoả nguyện

. Tìm GTLN của S = xy + yz + zx.

Lời giải

Bước 1:

Chọn

Bước 2:

Vận dụng BĐT Côsi ta có:

Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:

Vậy Max S =

lúc

Vận dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình

Câu 1. Giải phương trình

Lời giải

Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2. Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ko âm ta có:

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra lúc và chỉ lúc

Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3)

Câu 2. Giải phương trình:

Lời giải

Điều kiện: –1 ≤ x ≤ 1. Vận dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Cộng (1), (2), (3) ta được:

Mặt khác, lại theo bất đẳng thức Côsi ta có:

Từ (4) và (5) suy ra:

Dấu “=” xảy ra lúc và chỉ lúc:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Câu 3. Giải phương trình:

Lời giải

Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Liên kết (1) và (2) ta có:

x² – x + 2 ≤ x + 1 ⇔ (x – 1)² ≤ 0 ⇔ x = 1.

Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Câu 4. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 1. Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Tương tự:

Cộng (1), (2) ta được:

Dấu “ = ” xảy ra lúc và chỉ lúc:

Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thỏa mãn phương trình thứ nhất của hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;2)

Câu 5. Cho số nguyên n > 1. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Từ hệ đã cho suy ra x₁, x₂, …, x_n là cùng dấu. Giả sử x_i > 0 với mọi i.

Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

. Tương tự: x_i ≥ 1 với mọi i.

Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được:

Vì x_i ≥ 1 nên

với mọi i, suy ra:

Dấu “=” xảy ra lúc và chỉ lúc x₁ = x₂ = … = x_n = 1

Câu 6. Giải hệ phương trình:

Lời giải

Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0.

Với x, y, z ≠ 0, từ hệ đã cho suy ra x > 0, y > 0, z > 0. Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Tương tự:

và

Vậy: y ≤ x ≤ z ≤ y, suy ra x = y = z.

Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được:

Vậy hệ có hai nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0); (1; 1; 1)}

Câu 7. Tìm số nguyên dương n và các số dương a₁ = a₂ = … = a_n thỏa các điều kiện:

Lời giải

Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:

Vận dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

với i = 1, 2, …, n

Suy ra 4 ≥ 2n hay n ≤ 2

Với n = 1 ⇒ hệ

vô nghiệm;

Với n = 2 ⇒ hệ

có nghiệm a₁ = a₂ = 1

Vậy: n = 2 và a₁ = a₂ = 1.

Bạn thấy bài viết Bất đẳng thức cosi | Các dạng trình diễn và kỹ thuật chứng minh có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu  ko hãy comment góp ý thêm về Bất đẳng thức cosi | Các dạng trình diễn và kỹ thuật chứng minh bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo

Phân mục: Kiến thức chung
#Bất #đẳng #thức #cosi #Các #dạng #biểu #diễn #và #kỹ #thuật #chứng #minh