Tổng hợp các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki và 6 kỹ thuật quan trọng nhất, giúp độc giả nhanh chóng nắm vững và vận dụng vào các bài tập.
Các dạng trình diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+) Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; …; an và b1; b2; b3; …; bn. Lúc đó ta có:
Dạng 1
Dạng 2
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:
Dạng 3
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:
Dạng 4
Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; …; an và x1; x2; …; xn với x1; x2; …; xn > 0
Lúc đó ta có:
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Một số dạng đặc thù
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Phương pháp giải
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, lúc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có tức là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán lúc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số Câu sau.
Câu 1. Cho a là số thực dương thỏa mãn mãn a ≥ 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp
Sai trái 1.
Sai trái 2.
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là 2 .
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xảy ra tại
trái với giả thiết a ≥ 2
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 với dấu đẳng thức xảy ra tại
. Giả sử với các số α; β ta có:
Ta cần chọn hai số α; β sao cho trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 2.
Câu 2. Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp:
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại
Lúc đó a + b = 2 trái với giả thiết a + b = 4.
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Lúc đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Lúc đó ta được:
Quan tâm ta thấy
, do đó vận dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc a = b = 2.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp:
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại:
Lúc đó a + b + c = 3 ko thỏa mãn giả thiết a + b + c ≥ 6
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Lúc đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Lúc đó ta được:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = c = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Lúc đó ta được:
Quan tâm ta thấy
, do đó vận dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
Dấu đẳng thức xảy ra:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
, lúc a = b = c = 2.
Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Ta có hệ:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2.
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
, lúc a = b = c = 2.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa
. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích
Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Trong Câu này ta xét biểu thức đại diện
. Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách tầm thường:
Đẳng thức xảy ra lúc a =
, lúc đó nếu vận dụng tương tự thì ko thỏa mãn giả thiết của toán.
Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
. Lúc đó ta cần chọn một bộ số α; β để có nhận định
Dấu đẳng thức xảy ra tại
với a = .
Từ đó dễ dàng chọn được α = 8; β = 9.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A bằng
.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =
. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Xét biểu thức:
Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được:
Lúc đó dấu đẳng thức ko xảy ra tại a = b = c =
. Từ đó ta chọn các số p, q, r để có nhận định như sau:
Và đẳng thức xảy ra tại
với a = b = c = .
Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn p =
, q = r = 2.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A bằng
lúc a = b = c = .
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + 4b2 + 9c2 = 2015. Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức: P = a + b + c
Phân tích và lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Để sử dụng được giả thiết a2 + 4b2 + 9c2 = 2015 ta cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn:
Lúc đó ta có lời giải như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được P ≤
hay trị giá nhỏ nhất của P là
Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 + c2
Phân tích và lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(m2 + n2 + k2)(a2 + b2 + c2) ≥ (ma + nb + kc)2
Để vận dụng giả thiết a + 2b + 3c = 14 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau:
Lúc đó ta có lời giải như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó trị giá nhỏ nhất của P là 14. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a + 9b + 16c = 49. Chứng minh rằng:
Phân tích và lời giải
Cách 1. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Tương tự ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn:
Thử một số trường hợp ta chọn được m = 2; n = 5; k = 8, lúc đó ta có lời giải như sau.
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Cách 2. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý tới giả thiết 4a + 9b + 16c = 49, ta cần nhân thêm hệ số để lúc vận dụng dưới mẫu xuất hiện 4a + 9b + 16c. Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức nhận định từ đại lượng
về đại lượng hoặc trái lại. Để rõ hơn ta xét một số câu sau:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm là a + b – c + b + c – a = 2b. Do đó ta nghĩ tới việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý tới chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2), ta được:
Do đó ta được
, tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao.
Ta cần nhận định đại lượng a + b + c sao cho xuất hiện
, do đó ta viết a + b + c thành
Tới đây ta vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Ta có:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta có:
Suy ra ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chú ý tới giả thiết có đại lượng a2 + b2 và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng
. Chú ý tới chiều của bất đẳng thức ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là . Tới đây ta chỉ cần nhận định là xong.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu nhận định từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách nhận định từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu
. Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c nên ta viết được , chú ý tới chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta nhận định (a2 + 3b2)2 về a4 + 3b4, tuy nhiên nhận định này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 7. Cho các số thực a; b; c ∈ (0; 1). Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1 − a, quan tâm là a + 1 – a = 1 nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a.
Lúc này ta được:
Ko cần quan tâm tới dấu đẳng thức xảy ra nên ta có:
Tới ta đây ta lặp lại nhận định như trên thì bài toán được hoàn thành.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được abc:
Dễ dàng chứng minh được
. Vận dụng vào bài toán ta được:
Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Hay
Vậy ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
3(a + b + c)2 ≤ (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
Phân tích
Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu nhận định làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý tới sự xuất hiện của đại lượng (a + b + c)2 ở vế trái và a2 + 2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để nhận định đại lượng (a + b + c)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 2. Tương tự ta sẽ có nhận định sau:
Ta quy bài toán về chứng minh
. Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép chuyển đổi tương đương.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 ta được:
Bài toán đưa về chứng minh:
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Nhận xét
Bất đẳng thức này còn được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên tắc Dirichlet như sau:
Theo nguyên tắc Dirichlet thì trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số cùng ko lớn hơn 1 hoặc ko nhỏ hơn 1.
Ko mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c, lúc đó ta được:
(b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(a + b + c)2 = (1∙a + 1∙b + 1∙c)2 ≤ (a2 + 2)(1 + b2 + c2)
Bài toán quy về chứng minh 3(1 + b2 + c2) ≤ (b2 + 2)(c2 + 2)
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được (b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0.
Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả sử trên. Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
(ab + bc + ca – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)
Phân tích
Tương tự như trên, ta chú ý tới sự xuất hiện đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 ở vế trái và a2 + 1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần nhận định đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 1. Để thực hiện được nhận định đó ta quan tâm tới phép chuyển đổi
(ab + bc + ca – 1)2 = [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(ab + bc + ca – 1)2
= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc – 1)2]
Bài toán quy về chứng minh:
(b + c)2 + (bc – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)
Đây là một đẳng thức đúng vì:
(b + c)2 + (bc – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc
a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc
Câu 10. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh rằng:
–3 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd ≤ 5
Phân tích
Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Tới đây ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách vận dụng như các Câu trên.
Lời giải
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau:
–4 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1 ≤ 4
Hay (ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2
= [a(b + c + d – bcd) + 1∙(bc + bd + cd – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2]
Bài toán đưa về chứng minh
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Đây là một bất đẳng thức đúng vì
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó khắc phục được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức:
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức:
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế nhưng mà vận dụng thì ko được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Quan tâm là:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
Tuy nhiên nhận định trên ta một nhận định đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta lại có:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Nhưng thực sự bất thần lúc cách vận dụng như thế này lại ko giúp ta khắc phục được bài toán vì nhận định trên là một nhận định ko đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng khắc phục khác.
Quan tâm ta thấy:
c(1 + a2b) + a(1 + b2c) + b(1 + c2a) = (1 + abc)(a + b + c)
Lúc đó ta vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Lúc đó ta cần chứng minh được:
Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta ko thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các Câu trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Quan tâm ta thấy có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu:
Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là b2 + c2 + a(b + c) và đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Xét tới vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được x = b2 + ab; y = c2 + ac, lúc đó ta được:
Tới đây ta có thể giải được bài toán trên.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Sự xuất hiện biểu thức
và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách nhận định tương tự như Câu trên. Tương tự ta cần viết về dạng , ta cần xác định được các đại lượng A + B + C; x + y + z với x + y + z = 4a2 + b2 +c2. Quan tâm tới giả thiết a + b + c = 3 lúc đó (a + b + c)2 = 9 do đó ta có thể định được A + B + C theo phép chuyển đổi:
Tới đây ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là:
Tới đây ta có thể trình diễn lời giải cho bài toán như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm tới chuyển đổi và nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi (2a + b)(2a + c) = 2a(a + b + c) + 2a2 + bc lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi a2 + 1 = 2a2 + b2 +c2 và theo bất đẳng thức Cauchy ta được
. Lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Kỹ thuật thêm bớt
Phương pháp giải
Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi lúc khó hoặc thậm chí ko thể khắc phục bằng cách vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lúc đó ta chịu thương chịu khó chuyển đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức thích hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các Câu sau để minh họa cho điều đó.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ trước hết là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức:
Để hoàn thành phép chứng minh ta cần nhận định được
. Tuy nhiên quan tâm là đại lượng trội nhất nên ko thể nhận định về đại lượng trội hơn.
Do đó ta ko thể vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính tới phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là:
Tương tự ta có phép chuyển đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
Tới đây ta có thể vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để nhận định bất đẳng thức:
Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương với
Hay
Vận dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu liên kết với giả thiết ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được.
Lời giải
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Từ giả thiết của bài toán ta được abc(a + b + c) = ab + bc + ca và từ nhận định thân thuộc (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c), suy ra ta được:
(ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
⇔ ab + bc + ca ≥ 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
. Xét:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Theo một nhận định thân thuộc ta có:
Do đó ta cần chứng minh:
Bất đẳng thức trên tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét:
Qua các Câu trên ta nhận thấy chỉ với việc thêm bớt vào bất đẳng thức một đại lượng thích hợp ta có thể đổi được chiều bất đẳng thức và vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán. Kỹ thuật này gọi là kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Vậy thì kỹ thuật thêm bớt còn được sử dụng trong các trường hợp nào nữa, ta tiếp tục tìm hiểu các Câu sau đây.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được:
Trong lúc đó ta có:
Nên
Tương tự nhận định như trên ko chứng minh được bài toán.
Bất đẳng thức cần chứng minh ko cần phải đổi chiều như các Câu trên nhưng lúc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì ko đem lại hiệu quả. Để có một nhận định tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có chuyển đổi khá thú vị sau
. Lúc này bất đẳng thức trở thành . Với bất đẳng thức này kỳ vọng ta sẽ chứng minh được.
Lời giải
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay (a + b + c)2 ≥ 6(a + b + c) – 9
Hay (a + b + c)2 – 6(a + b + c) + 9 ≥0
⇔ (a + b + c – 3)2 ≥ 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Nhận xét
Tương tự bằng việc thêm – bớt một đại lượng ta đã chuyển đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác và lúc đó có thể dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách thuận tiện hơn. Vậy thì làm thế nào để ta có thể chọn được đại lượng thích hợp?
Xét ý tưởng sau đây: Ta sẽ tìm một số m dương sao cho
có tử số 1 – m(1 – a) là một đại lượng dương và nhận định mày càng chặt càng tốt. Do đó ta chọn được m = , lúc đó thì
Để chứng minh bất đẳng thức
ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức theo cách khác sau.
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
3 ≥ 2(a3 + b3 + c3) – (a4 + b4 + c4)
⇔ (a4 + b4 + c4) + (a2 + b2 + c2) ≥ 2(a3 + b3 + c3)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
a4 + a2 ≥ 2a3; b4 + b2 ≥ 2b3; c4 + c2 ≥ 2c3
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cuối cùng.
Vậy bài toán được chứng minh xong.
Câu 9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho
có tử số là a(1 – 3m) + mb – mc là một số dương và nhận định trên càng chặt càng tốt. Quan tâm giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ tới chọn m sao cho tử số trên có dạng a + b – c. Từ những nhận định đó ta chọn được m = . Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ trước hết là vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Hay
Tuy nhiên nhận định trên là sai. Do đó ta ko thể vận dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki nhưng mà cần chuyển đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho:
Và nhận định trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m = 1. Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay
Nhận định cuối cùng là một nhận định đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki
Phương pháp giải
Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát xuất hiện cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc nhưng mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể vận dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép chuyển đổi như:
Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc = 1 ta có thể đổi biến:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lại của các đại lượng ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc(a + b + c) = ab∙bc + bc∙ca + ca∙ab. Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến là x = ab; y = bc; z = ca.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Đặt x = ab; y = bc; z = ca, lúc đó ta được x + y + z = 3, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
9(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
⇔ (x + y + z)4 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
Đặt A = x2 + y2 + z2; B = xy + yz + zx
Suy ra A + 2B = (x + y + z)2 = 9
Lúc đó ta cần chứng minh:
(A + 2B)2 ≥ 3B(2A + B) ⇔ A2 +B2 ≥ 2AB
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức được viết lại thành
Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ tới phép đổi biến x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức trở thành:
Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa.
Lời giải
Đặt x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay 8(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ 9(x + y)(y + z)(z + x)
Hay 8xyz ≤ (x + y)(y + z)(z + x)
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành
. Tới đây ta đặt và lúc này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy tín hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
.
Đặt
, từ giả thiết suy ra x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay x2 + y2 + z2 ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Vì x + y + z = 1, nên bất đẳng thức trên trở thành:
(x + y + z)( x2 + y2 + z2) ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Hay x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
x3 + xz2 ≥ 2x2z; y3 + yx2 ≥ 2 y2x; z3 + zy2 ≥ 2 z2y
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Phép chứng minh hoàn thành. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 3.
Nhận xét
Bất đẳng thức trên còn được chứng minh theo cách sau
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Vì x + y + z = 1 nên
. Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng.
Phép chứng minh hoàn thành.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức nghĩ tới đổi biến
. Lúc đó bất đẳng thức được viết lại thành:
Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt.
Lời giải
Đặt
. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một nhận định thân thuộc ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta viết lại giả thiết thành
, lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến . Bất đẳng thức được viết lại thành:
Quan tâm tới giả thiết x + y + z = 1, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
Đặt
, lúc đó ta được x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Chứng minh tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 6. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ giả thiết ta được
. Đặt , lúc đó ta có x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Tương tự ta có:
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng
, quan tâm tới phép chuyển đổi . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến.
Lời giải
Đặt
, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 8. Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chính sự xuất hiện giải thiết
làm cho ta suy nghĩ tới việc sử dụng phép đổi biến .
Lời giải
Đặt
, lúc đó x; y; z ∈ (0;1) và x + y + z = 2
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Trước hết ta chuyển đổi giả thiết thành:
Lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến:
Quan tâm là từ cách đổi biến đó ta được:
Bất đẳng thức được viết lại thành:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán.
Lời giải
Ta có:
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Giả thiết được viết lại thành:
Đặt
, suy ra x+ y + z = 1.
Lúc đó ta được:
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Từ giả thiết ta được
, lúc đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến , suy ra xy + yz + zx = 1. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm tới phép chuyển đổi:
Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bài toán.
Lời giải
Từ giả thiết a + b + c = abc suy ra
Đặt
, lúc đó giả thiết của bài toán trở thành xy + yz + zx = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Dễ thấy:
Tương tự ta được:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Tương tự bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.
[toggle title=”xem thêm thông tin chi tiết về Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng biểu diễn và bài tập ứng dụng” state=”close”]
Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng
Hình Ảnh về: Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng
Video về: Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng
Wiki về Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng
Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng -
Tổng hợp các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki và 6 kỹ thuật quan trọng nhất, giúp độc giả nhanh chóng nắm vững và vận dụng vào các bài tập.
Các dạng trình diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+) Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; …; an và b1; b2; b3; …; bn. Lúc đó ta có:
Dạng 1
Dạng 2
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:
Dạng 3
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:
Dạng 4
Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; …; an và x1; x2; …; xn với x1; x2; …; xn > 0
Lúc đó ta có:
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Một số dạng đặc thù
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Phương pháp giải
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, lúc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có tức là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán lúc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số Câu sau.
Câu 1. Cho a là số thực dương thỏa mãn mãn a ≥ 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp
Sai trái 1.
Sai trái 2.
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là 2 .
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xảy ra tại
trái với giả thiết a ≥ 2
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 với dấu đẳng thức xảy ra tại
. Giả sử với các số α; β ta có:
Ta cần chọn hai số α; β sao cho trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = 2.
Câu 2. Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp:
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại
Lúc đó a + b = 2 trái với giả thiết a + b = 4.
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Lúc đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Lúc đó ta được:
Quan tâm ta thấy
, do đó vận dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc a = b = 2.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai trái thường gặp:
Do đó trị giá nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai trái: Để có trị giá nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại:
Lúc đó a + b + c = 3 ko thỏa mãn giả thiết a + b + c ≥ 6
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Lúc đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Lúc đó ta được:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = c = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Lúc đó ta được:
Quan tâm ta thấy
, do đó vận dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
Dấu đẳng thức xảy ra:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
, lúc a = b = c = 2.
Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Ta có hệ:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2.
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
, lúc a = b = c = 2.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa
. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích
Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán trị giá nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Trong Câu này ta xét biểu thức đại diện
. Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách tầm thường:
Đẳng thức xảy ra lúc a =
, lúc đó nếu vận dụng tương tự thì ko thỏa mãn giả thiết của toán.
Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
. Lúc đó ta cần chọn một bộ số α; β để có nhận định
Dấu đẳng thức xảy ra tại
với a = .
Từ đó dễ dàng chọn được α = 8; β = 9.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A bằng
.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =
. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Xét biểu thức:
Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được:
Lúc đó dấu đẳng thức ko xảy ra tại a = b = c =
. Từ đó ta chọn các số p, q, r để có nhận định như sau:
Và đẳng thức xảy ra tại
với a = b = c = .
Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn p =
, q = r = 2.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy trị giá nhỏ nhất của A bằng
lúc a = b = c = .
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + 4b2 + 9c2 = 2015. Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức: P = a + b + c
Phân tích và lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Để sử dụng được giả thiết a2 + 4b2 + 9c2 = 2015 ta cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn:
Lúc đó ta có lời giải như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được P ≤
hay trị giá nhỏ nhất của P là
Dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14. Tìm trị giá nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 + c2
Phân tích và lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(m2 + n2 + k2)(a2 + b2 + c2) ≥ (ma + nb + kc)2
Để vận dụng giả thiết a + 2b + 3c = 14 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau:
Lúc đó ta có lời giải như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó trị giá nhỏ nhất của P là 14. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a + 9b + 16c = 49. Chứng minh rằng:
Phân tích và lời giải
Cách 1. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Tương tự ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn:
Thử một số trường hợp ta chọn được m = 2; n = 5; k = 8, lúc đó ta có lời giải như sau.
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Cách 2. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý tới giả thiết 4a + 9b + 16c = 49, ta cần nhân thêm hệ số để lúc vận dụng dưới mẫu xuất hiện 4a + 9b + 16c. Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức nhận định từ đại lượng
về đại lượng hoặc trái lại. Để rõ hơn ta xét một số câu sau:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm là a + b – c + b + c – a = 2b. Do đó ta nghĩ tới việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý tới chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2), ta được:
Do đó ta được
, tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao.
Ta cần nhận định đại lượng a + b + c sao cho xuất hiện
, do đó ta viết a + b + c thành
Tới đây ta vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Ta có:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta có:
Suy ra ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chú ý tới giả thiết có đại lượng a2 + b2 và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng
. Chú ý tới chiều của bất đẳng thức ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là . Tới đây ta chỉ cần nhận định là xong.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu nhận định từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách nhận định từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu
. Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c nên ta viết được , chú ý tới chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta nhận định (a2 + 3b2)2 về a4 + 3b4, tuy nhiên nhận định này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 7. Cho các số thực a; b; c ∈ (0; 1). Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1 − a, quan tâm là a + 1 – a = 1 nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a.
Lúc này ta được:
Ko cần quan tâm tới dấu đẳng thức xảy ra nên ta có:
Tới ta đây ta lặp lại nhận định như trên thì bài toán được hoàn thành.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được abc:
Dễ dàng chứng minh được
. Vận dụng vào bài toán ta được:
Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Hay
Vậy ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
3(a + b + c)2 ≤ (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
Phân tích
Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu nhận định làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý tới sự xuất hiện của đại lượng (a + b + c)2 ở vế trái và a2 + 2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để nhận định đại lượng (a + b + c)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 2. Tương tự ta sẽ có nhận định sau:
Ta quy bài toán về chứng minh
. Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép chuyển đổi tương đương.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 ta được:
Bài toán đưa về chứng minh:
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc:
Nhận xét
Bất đẳng thức này còn được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên tắc Dirichlet như sau:
Theo nguyên tắc Dirichlet thì trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số cùng ko lớn hơn 1 hoặc ko nhỏ hơn 1.
Ko mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c, lúc đó ta được:
(b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(a + b + c)2 = (1∙a + 1∙b + 1∙c)2 ≤ (a2 + 2)(1 + b2 + c2)
Bài toán quy về chứng minh 3(1 + b2 + c2) ≤ (b2 + 2)(c2 + 2)
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được (b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0.
Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả sử trên. Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
(ab + bc + ca – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)
Phân tích
Tương tự như trên, ta chú ý tới sự xuất hiện đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 ở vế trái và a2 + 1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần nhận định đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 1. Để thực hiện được nhận định đó ta quan tâm tới phép chuyển đổi
(ab + bc + ca – 1)2 = [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(ab + bc + ca – 1)2
= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc – 1)2]
Bài toán quy về chứng minh:
(b + c)2 + (bc – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)
Đây là một đẳng thức đúng vì:
(b + c)2 + (bc – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc
a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc
Câu 10. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh rằng:
–3 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd ≤ 5
Phân tích
Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Tới đây ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách vận dụng như các Câu trên.
Lời giải
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau:
–4 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1 ≤ 4
Hay (ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2
= [a(b + c + d – bcd) + 1∙(bc + bd + cd – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2]
Bài toán đưa về chứng minh
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Đây là một bất đẳng thức đúng vì
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó khắc phục được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức:
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức:
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế nhưng mà vận dụng thì ko được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Quan tâm là:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
Tuy nhiên nhận định trên ta một nhận định đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta lại có:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Nhưng thực sự bất thần lúc cách vận dụng như thế này lại ko giúp ta khắc phục được bài toán vì nhận định trên là một nhận định ko đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng khắc phục khác.
Quan tâm ta thấy:
c(1 + a2b) + a(1 + b2c) + b(1 + c2a) = (1 + abc)(a + b + c)
Lúc đó ta vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Lúc đó ta cần chứng minh được:
Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta ko thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các Câu trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Quan tâm ta thấy có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu:
Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là b2 + c2 + a(b + c) và đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Xét tới vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được x = b2 + ab; y = c2 + ac, lúc đó ta được:
Tới đây ta có thể giải được bài toán trên.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Sự xuất hiện biểu thức
và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách nhận định tương tự như Câu trên. Tương tự ta cần viết về dạng , ta cần xác định được các đại lượng A + B + C; x + y + z với x + y + z = 4a2 + b2 +c2. Quan tâm tới giả thiết a + b + c = 3 lúc đó (a + b + c)2 = 9 do đó ta có thể định được A + B + C theo phép chuyển đổi:
Tới đây ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là:
Tới đây ta có thể trình diễn lời giải cho bài toán như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm tới chuyển đổi và nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi (2a + b)(2a + c) = 2a(a + b + c) + 2a2 + bc lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi a2 + 1 = 2a2 + b2 +c2 và theo bất đẳng thức Cauchy ta được
. Lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Kỹ thuật thêm bớt
Phương pháp giải
Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi lúc khó hoặc thậm chí ko thể khắc phục bằng cách vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lúc đó ta chịu thương chịu khó chuyển đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức thích hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các Câu sau để minh họa cho điều đó.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ trước hết là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức:
Để hoàn thành phép chứng minh ta cần nhận định được
. Tuy nhiên quan tâm là đại lượng trội nhất nên ko thể nhận định về đại lượng trội hơn.
Do đó ta ko thể vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính tới phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là:
Tương tự ta có phép chuyển đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
Tới đây ta có thể vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để nhận định bất đẳng thức:
Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương với
Hay
Vận dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu liên kết với giả thiết ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được.
Lời giải
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Từ giả thiết của bài toán ta được abc(a + b + c) = ab + bc + ca và từ nhận định thân thuộc (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c), suy ra ta được:
(ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
⇔ ab + bc + ca ≥ 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
. Xét:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Theo một nhận định thân thuộc ta có:
Do đó ta cần chứng minh:
Bất đẳng thức trên tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét:
Qua các Câu trên ta nhận thấy chỉ với việc thêm bớt vào bất đẳng thức một đại lượng thích hợp ta có thể đổi được chiều bất đẳng thức và vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán. Kỹ thuật này gọi là kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Vậy thì kỹ thuật thêm bớt còn được sử dụng trong các trường hợp nào nữa, ta tiếp tục tìm hiểu các Câu sau đây.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được:
Trong lúc đó ta có:
Nên
Tương tự nhận định như trên ko chứng minh được bài toán.
Bất đẳng thức cần chứng minh ko cần phải đổi chiều như các Câu trên nhưng lúc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì ko đem lại hiệu quả. Để có một nhận định tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có chuyển đổi khá thú vị sau
. Lúc này bất đẳng thức trở thành . Với bất đẳng thức này kỳ vọng ta sẽ chứng minh được.
Lời giải
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay (a + b + c)2 ≥ 6(a + b + c) – 9
Hay (a + b + c)2 – 6(a + b + c) + 9 ≥0
⇔ (a + b + c – 3)2 ≥ 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Nhận xét
Tương tự bằng việc thêm – bớt một đại lượng ta đã chuyển đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác và lúc đó có thể dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách thuận tiện hơn. Vậy thì làm thế nào để ta có thể chọn được đại lượng thích hợp?
Xét ý tưởng sau đây: Ta sẽ tìm một số m dương sao cho
có tử số 1 – m(1 – a) là một đại lượng dương và nhận định mày càng chặt càng tốt. Do đó ta chọn được m = , lúc đó thì
Để chứng minh bất đẳng thức
ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức theo cách khác sau.
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
3 ≥ 2(a3 + b3 + c3) – (a4 + b4 + c4)
⇔ (a4 + b4 + c4) + (a2 + b2 + c2) ≥ 2(a3 + b3 + c3)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
a4 + a2 ≥ 2a3; b4 + b2 ≥ 2b3; c4 + c2 ≥ 2c3
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cuối cùng.
Vậy bài toán được chứng minh xong.
Câu 9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho
có tử số là a(1 – 3m) + mb – mc là một số dương và nhận định trên càng chặt càng tốt. Quan tâm giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ tới chọn m sao cho tử số trên có dạng a + b – c. Từ những nhận định đó ta chọn được m = . Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ trước hết là vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Hay
Tuy nhiên nhận định trên là sai. Do đó ta ko thể vận dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki nhưng mà cần chuyển đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho:
Và nhận định trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m = 1. Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay
Nhận định cuối cùng là một nhận định đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki
Phương pháp giải
Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát xuất hiện cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc nhưng mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể vận dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép chuyển đổi như:
Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc = 1 ta có thể đổi biến:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lại của các đại lượng ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc(a + b + c) = ab∙bc + bc∙ca + ca∙ab. Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến là x = ab; y = bc; z = ca.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Đặt x = ab; y = bc; z = ca, lúc đó ta được x + y + z = 3, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
9(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
⇔ (x + y + z)4 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
Đặt A = x2 + y2 + z2; B = xy + yz + zx
Suy ra A + 2B = (x + y + z)2 = 9
Lúc đó ta cần chứng minh:
(A + 2B)2 ≥ 3B(2A + B) ⇔ A2 +B2 ≥ 2AB
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức được viết lại thành
Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ tới phép đổi biến x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức trở thành:
Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa.
Lời giải
Đặt x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay 8(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ 9(x + y)(y + z)(z + x)
Hay 8xyz ≤ (x + y)(y + z)(z + x)
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành
. Tới đây ta đặt và lúc này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy tín hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
.
Đặt
, từ giả thiết suy ra x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay x2 + y2 + z2 ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Vì x + y + z = 1, nên bất đẳng thức trên trở thành:
(x + y + z)( x2 + y2 + z2) ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Hay x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
x3 + xz2 ≥ 2x2z; y3 + yx2 ≥ 2 y2x; z3 + zy2 ≥ 2 z2y
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Phép chứng minh hoàn thành. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 3.
Nhận xét
Bất đẳng thức trên còn được chứng minh theo cách sau
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Vì x + y + z = 1 nên
. Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng.
Phép chứng minh hoàn thành.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức nghĩ tới đổi biến
. Lúc đó bất đẳng thức được viết lại thành:
Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt.
Lời giải
Đặt
. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một nhận định thân thuộc ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta viết lại giả thiết thành
, lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến . Bất đẳng thức được viết lại thành:
Quan tâm tới giả thiết x + y + z = 1, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
Đặt
, lúc đó ta được x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Chứng minh tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 6. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ giả thiết ta được
. Đặt , lúc đó ta có x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Tương tự ta có:
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng
, quan tâm tới phép chuyển đổi . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến.
Lời giải
Đặt
, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 8. Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chính sự xuất hiện giải thiết
làm cho ta suy nghĩ tới việc sử dụng phép đổi biến .
Lời giải
Đặt
, lúc đó x; y; z ∈ (0;1) và x + y + z = 2
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Trước hết ta chuyển đổi giả thiết thành:
Lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến:
Quan tâm là từ cách đổi biến đó ta được:
Bất đẳng thức được viết lại thành:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán.
Lời giải
Ta có:
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Giả thiết được viết lại thành:
Đặt
, suy ra x+ y + z = 1.
Lúc đó ta được:
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Từ giả thiết ta được
, lúc đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến , suy ra xy + yz + zx = 1. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm tới phép chuyển đổi:
Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bài toán.
Lời giải
Từ giả thiết a + b + c = abc suy ra
Đặt
, lúc đó giả thiết của bài toán trở thành xy + yz + zx = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Dễ thấy:
Tương tự ta được:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Tương tự bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.
[rule_{ruleNumber}]
[box type=”note” align=”” class=”” https://pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js?client=ca-pub-7829188793211907″ crossorigin=”anonymous”>
Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki
+) Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; a3; …; an và b1; b2; b3; …; bn. Khi đó ta có:
Dạng 1
Dạng 2
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:
Dạng 3
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:
Dạng 4
Cho hai dãy số tùy ý a1; a2; …; an và x1; x2; …; xn với x1; x2; …; xn > 0
Khi đó ta có:
+) Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:
Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Một số dạng đặc biệt
Kỹ thuật chọn điểm rơi
Phương pháp giải
Cũng tương tự như bất đẳng thức Cauchy, khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức ta cần phải bảo toàn được dấu đẳng thức xảy ra, điều này có nghĩa là ta cần phải xác định được điểm rơi của bài toán khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Để rõ hơn ta tìm hiểu một số Câu sau.
Câu 1. Cho a là số thực dương thỏa mãn mãn a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai lầm thường gặp
Sai lầm 1.
Sai lầm 2.
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là 2 .
+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là 2 thì dấu đẳng thức xảy ra tại
trái với giả thiết a ≥ 2
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 với dấu đẳng thức xảy ra tại
. Giả sử với các số α; β ta có:
Ta cần chọn hai số α; β sao cho giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2.
Câu 2. Cho a, b, là các số thực dương thỏa mãn a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai lầm thường gặp:
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại
Khi đó a + b = 2 trái với giả thiết a + b = 4.
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Khi đó ta được:
Để ý ta thấy
, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được:
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) Sai lầm thường gặp:
Do đó giá trị nhỏ nhất của A là
.
+) Nguyên nhân sai lầm: Để có giá trị nhỏ nhất là
thì dấu đẳng thức xảy ra tại:
Khi đó a + b + c = 3 không thỏa mãn giả thiết a + b + c ≥ 6
+) Phân tích tìm lời giải: Xét bất đẳng thức
với dấu đẳng thức xảy ra tại . Khi đó với ý tưởng chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Khi đó ta được:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được tại a = b = c = 2. Từ đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Khi đó ta được:
Để ý ta thấy
, do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết ta được
Dấu đẳng thức xảy ra:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
, khi a = b = c = 2.
Câu 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a + b + c ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn.
Giả sử với các số α; β ta có:
Ta có hệ:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2.
Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
, khi a = b = c = 2.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Câu 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phân tích
Do biểu thức A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c = 2. Do đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Trong Câu này ta xét biểu thức đại diện
. Một cách tự nhiên ta tìm cách khử căn của biểu thức. Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách bình thường:
Đẳng thức xảy ra khi a =
, khi đó nếu áp dụng tương tự thì không thỏa mãn giả thiết của toán.
Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
. Khi đó ta cần chọn một bộ số α; β để có đánh giá
Dấu đẳng thức xảy ra tại
với a = .
Từ đó dễ dàng chọn được α = 8; β = 9.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Xét biểu thức:
Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp thì ta được:
Khi đó dấu đẳng thức không xảy ra tại a = b = c =
. Từ đó ta chọn các số p, q, r để có đánh giá như sau:
Và đẳng thức xảy ra tại
với a = b = c = .
Từ đó ta chọn được một bộ số thỏa mãn p =
, q = r = 2.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
Từ đó ta được:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng
khi a = b = c = .
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + 4b2 + 9c2 = 2015. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a + b + c
Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Để sử dụng được giả thiết a2 + 4b2 + 9c2 = 2015 ta cần chọn một bộ số m; n; p sao cho hệ sau thỏa mãn:
Khi đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được P ≤
hay giá trị nhỏ nhất của P là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + 2b + 3c = 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 + c2
Phân tích và lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(m2 + n2 + k2)(a2 + b2 + c2) ≥ (ma + nb + kc)2
Để áp dụng giả thiết a + 2b + 3c = 14 ta cần chọn một bộ số m; n; k thỏa mãn hệ sau:
Khi đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 14. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương sao thỏa mãn 4a + 9b + 16c = 49. Chứng minh rằng:
Phân tích và lời giải
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Như vậy ta cần chọn một bộ số m; n; k sao cho hệ sau thỏa mãn:
Thử một số trường hợp ta chọn được m = 2; n = 5; k = 8, khi đó ta có lời giải như sau.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Cách 2. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên chú ý đến giả thiết 4a + 9b + 16c = 49, ta cần nhân thêm hệ số để khi áp dụng dưới mẫu xuất hiện 4a + 9b + 16c. Do đó ta có thể chứng minh bài toán trên như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản là những bất đẳng thức đánh giá từ đại lượng
về đại lượng hoặc ngược lại. Để rõ hơn ta xét một số câu sau:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể đưa đưa đại lượng dưới các dấu căn ở vế trái vào trong cùng một căn thức, chú ý chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý là a + b – c + b + c – a = 2b. Do đó ta nghĩ đến việc đưa hai đại lượng dưới dấu căn vào trong cùng một dấu căn. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản dạng (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2), ta được:
Do đó ta được
, tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý nếu ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Bất đẳng thức trên gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ở đây ta thử áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản xem sao.
Ta cần đánh giá đại lượng a + b + c sao cho xuất hiện
, do đó ta viết a + b + c thành
Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản.
Lời giải
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Do đó ta có:
Suy ra ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chú ý đến giả thiết có đại lượng a2 + b2 và trong bất đẳng thức cần chứng minh cho đại lượng
. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là . Đến đây ta chỉ cần đánh giá là xong.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy nếu đánh giá từ vế trái sang vế phải của bất đẳng thức thì rất khó khăn, do đó ta tìm cách đánh giá từ vế phải sang vế trái, tức là ta cần chứng minh được bất đẳng thức kiểu
. Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c nên ta viết được , chú ý đến chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta có đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki là:
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta đánh giá (a2 + 3b2)2 về a4 + 3b4, tuy nhiên đánh giá này hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 7. Cho các số thực a; b; c ∈ (0; 1). Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy trong căn thức thứ nhất có chứa nhân tử a và trong căn thức thứ hai lại có chứa nhân tử 1 − a, để ý là a + 1 – a = 1 nên ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để triệt tiêu đi biến a.
Khi này ta được:
Không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xảy ra nên ta có:
Đến ta đây ta lặp lại đánh giá như trên thì bài toán được hoàn tất.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được abc:
Dễ dàng chứng minh được
. Áp dụng vào bài toán ta được:
Lại theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Hay
Vậy ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
3(a + b + c)2 ≤ (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)
Phân tích
Bất đẳng thức trên có các biến độc lập nhau, do đó nếu đánh giá làm giảm đi số biến thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Ta chú ý đến sự xuất hiện của đại lượng (a + b + c)2 ở vế trái và a2 + 2 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Sự xuất hiện này làm cho ta suy nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá đại lượng (a + b + c)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 2. Như vậy ta sẽ có đánh giá sau:
Ta quy bài toán về chứng minh
. Bất đẳng thức này chỉ có hai biến và có thể chứng minh được bằng phép biến đổi tương đương.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 ta được:
Bài toán đưa về chứng minh:
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng này hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Nhận xét
Bất đẳng thức này còn được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hơp với nguyên lý Dirichlet như sau:
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số cùng không lớn hơn 1 hoặc không nhỏ hơn 1.
Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c, khi đó ta được:
(b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(a + b + c)2 = (1∙a + 1∙b + 1∙c)2 ≤ (a2 + 2)(1 + b2 + c2)
Bài toán quy về chứng minh 3(1 + b2 + c2) ≤ (b2 + 2)(c2 + 2)
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được (b2 – 1)(c2 – 1) ≥ 0.
Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo giả sử trên. Vậy bài toán được chứng minh.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
(ab + bc + ca – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)
Phân tích
Tương tự như trên, ta chú ý đến sự xuất hiện đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 ở vế trái và a2 + 1 ở vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh. Ta cần đánh giá đại lượng (ab + bc + ca – 1)2 làm sao cho xuất hiện đại lượng a2 + 1. Để thực hiện được đánh giá đó ta để ý đến phép biến đổi
(ab + bc + ca – 1)2 = [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
(ab + bc + ca – 1)2
= [a∙(b + c) + 1∙(bc – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c)2 + (bc – 1)2]
Bài toán quy về chứng minh:
(b + c)2 + (bc – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)
Đây là một đẳng thức đúng vì:
(b + c)2 + (bc – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc
a(bc – 1) = b + c ⇔ a + b + c = abc
Câu 10. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16. Chứng minh rằng:
–3 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd ≤ 5
Phân tích
Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Quan sát giả thiết ta viết bất đẳng thức cần chứng minh được thành:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Tới đây ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki với cách vận dụng như các Câu trên.
Lời giải
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau:
–4 ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1 ≤ 4
Hay (ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2 ≤ 16
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(ab + ac + ad + bc + bd + cd – abcd – 1)2
= [a(b + c + d – bcd) + 1∙(bc + bd + cd – 1)]2
≤ (a2 + 1)[(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2]
Bài toán đưa về chứng minh
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 ≤ (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Đây là một bất đẳng thức đúng vì
(b + c + d – bcd)2 + (bc + bd + cd – 1)2 = (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1)
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức. Nó khắc phục được một lớp các bất đẳng thức chứa các đại lượng có dạng phân thức.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát các đại lượng bên vế trái và chiều bất đẳng thức, một cách tự nhiên ta nghĩ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức:
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức:
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta cũng có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nhưng nếu để như thế nhưng mà vận dụng thì ko được. Trước hết ta cần tạo ra các biểu thức có dạng bình phương ở tử có 3 phân thức ở vế trái bằng cách nhân thêm vào tử và mẫu các lượng thích hợp. Quan tâm là:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
(a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
Tuy nhiên nhận định trên ta một nhận định đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta lại có:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Ở bài toán này tử số của các phân thức đã ở dạng lũy thừa bậc chẵn nên ta có thể nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức:
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Nhưng thực sự bất thần lúc cách vận dụng như thế này lại ko giúp ta khắc phục được bài toán vì nhận định trên là một nhận định ko đúng. Nên buộc ta phải tìm hướng khắc phục khác.
Quan tâm ta thấy:
c(1 + a2b) + a(1 + b2c) + b(1 + c2a) = (1 + abc)(a + b + c)
Lúc đó ta vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức như sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Lúc đó ta cần chứng minh được:
Theo bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức có tử là các lũy thừa bậc hai, tuy nhiên ta ko thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như các Câu trên vì ta sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Quan tâm ta thấy có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức kiểu:
Ta cần xác định được x và y sao cho tổng của chúng là b2 + c2 + a(b + c) và đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Xét tới vai trò đối xứng của b và c trong biểu thức ta có thể xác định được x = b2 + ab; y = c2 + ac, lúc đó ta được:
Tới đây ta có thể giải được bài toán trên.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Sự xuất hiện biểu thức
và chiều của bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng tới bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức với cách nhận định tương tự như Câu trên. Tương tự ta cần viết về dạng , ta cần xác định được các đại lượng A + B + C; x + y + z với x + y + z = 4a2 + b2 +c2. Quan tâm tới giả thiết a + b + c = 3 lúc đó (a + b + c)2 = 9 do đó ta có thể định được A + B + C theo phép chuyển đổi:
Tới đây ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức là:
Tới đây ta có thể trình diễn lời giải cho bài toán như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm tới chuyển đổi và nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
Vận dụng tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét
Nếu ta thay các biến a, b, c tương ứng bởi
thì ta thu được bất đẳng thức
Quan tâm ta lại thấy
, lúc đó ta được bất đẳng thức
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi (2a + b)(2a + c) = 2a(a + b + c) + 2a2 + bc lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta có phép chuyển đổi a2 + 1 = 2a2 + b2 +c2 và theo bất đẳng thức Cauchy ta được
. Lúc đó ta có nhận định theo bất đẳng thức Bunhiacopxki sau:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức tên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Kỹ thuật thêm bớt
Phương pháp giải
Có những bất đẳng thức (hay biểu thức cần tìm GTLN, GTNN) nếu để nguyên dạng như đề bài cho đôi lúc khó hoặc thậm chí ko thể khắc phục bằng cách vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Lúc đó ta chịu thương chịu khó chuyển đổi một số biểu thức bằng cách thêm bớt các số hay biểu thức thích hợp ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách dễ dàng hơn. Ta cùng xem xét các Câu sau để minh họa cho điều đó.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Các đại lượng vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh có dạng phân thức nên suy nghĩ trước hết là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức một cách trực tiếp ta thu được bất đẳng thức:
Để hoàn thành phép chứng minh ta cần nhận định được
. Tuy nhiên quan tâm là đại lượng trội nhất nên ko thể nhận định về đại lượng trội hơn.
Do đó ta ko thể vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh được, vì vậy ta tính tới phương án đổi chiều bất đẳng thức trước. Chú ý là:
Tương tự ta có phép chuyển đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
Tới đây ta có thể vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức để nhận định bất đẳng thức:
Lời giải
Bất đẳng thức trên tương đương với
Hay
Vận dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cộng mẫu liên kết với giả thiết ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm trị giá lớn nhất của biểu thức:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức được.
Lời giải
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Từ giả thiết của bài toán ta được abc(a + b + c) = ab + bc + ca và từ nhận định thân thuộc (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c), suy ra ta được:
(ab + bc + ca)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
⇔ ab + bc + ca ≥ 3
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt
. Xét:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Hay
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Theo một nhận định thân thuộc ta có:
Do đó ta cần chứng minh:
Bất đẳng thức trên tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Nhận xét:
Qua các Câu trên ta nhận thấy chỉ với việc thêm bớt vào bất đẳng thức một đại lượng thích hợp ta có thể đổi được chiều bất đẳng thức và vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán. Kỹ thuật này gọi là kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Bunhiacopxki. Vậy thì kỹ thuật thêm bớt còn được sử dụng trong các trường hợp nào nữa, ta tiếp tục tìm hiểu các Câu sau đây.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nếu vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách trực tiếp ta được:
Trong lúc đó ta có:
Nên
Tương tự nhận định như trên ko chứng minh được bài toán.
Bất đẳng thức cần chứng minh ko cần phải đổi chiều như các Câu trên nhưng lúc vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức thì ko đem lại hiệu quả. Để có một nhận định tốt hơn ta cần thay đổi cách phát biểu các đại lượng của bất đẳng thức xem sao? Chú ý một tí ta sẽ có chuyển đổi khá thú vị sau
. Lúc này bất đẳng thức trở thành . Với bất đẳng thức này kỳ vọng ta sẽ chứng minh được.
Lời giải
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay (a + b + c)2 ≥ 6(a + b + c) – 9
Hay (a + b + c)2 – 6(a + b + c) + 9 ≥0
⇔ (a + b + c – 3)2 ≥ 0
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 1.
Nhận xét
Tương tự bằng việc thêm – bớt một đại lượng ta đã chuyển đổi bất đẳng thức đã cho về dạng khác và lúc đó có thể dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki một cách thuận tiện hơn. Vậy thì làm thế nào để ta có thể chọn được đại lượng thích hợp?
Xét ý tưởng sau đây: Ta sẽ tìm một số m dương sao cho
có tử số 1 – m(1 – a) là một đại lượng dương và nhận định mày càng chặt càng tốt. Do đó ta chọn được m = , lúc đó thì
Để chứng minh bất đẳng thức
ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức theo cách khác sau.
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
3 ≥ 2(a3 + b3 + c3) – (a4 + b4 + c4)
⇔ (a4 + b4 + c4) + (a2 + b2 + c2) ≥ 2(a3 + b3 + c3)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
a4 + a2 ≥ 2a3; b4 + b2 ≥ 2b3; c4 + c2 ≥ 2c3
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cuối cùng.
Vậy bài toán được chứng minh xong.
Câu 9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để vận dụng được bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cần tìm số m dương sao cho
có tử số là a(1 – 3m) + mb – mc là một số dương và nhận định trên càng chặt càng tốt. Quan tâm giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta nghĩ tới chọn m sao cho tử số trên có dạng a + b – c. Từ những nhận định đó ta chọn được m = . Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Hay bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức trên thì suy nghĩ trước hết là vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Phép chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chỉ ra được:
Hay
Tuy nhiên nhận định trên là sai. Do đó ta ko thể vận dụng được trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki nhưng mà cần chuyển đổi bất đẳng thức về một dạng khác. Với ý tưởng đó ta cần tìm số m dương sao cho:
Và nhận định trên càng chặt càng tốt. Từ những nhận định đó ta chọn được m = 1. Lúc đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh được:
Hay
Nhận định cuối cùng là một nhận định đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki
Phương pháp giải
Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát xuất hiện cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc nhưng mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể vận dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép chuyển đổi như:
Với một số bất đẳng thức có giả thiết là abc = 1 ta có thể đổi biến:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm ta thấy bất đẳng thức có sự lặp lại của các đại lượng ab; bc; ca và chú ý ta nhận thấy abc(a + b + c) = ab∙bc + bc∙ca + ca∙ab. Do vậy một cách tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến là x = ab; y = bc; z = ca.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Đặt x = ab; y = bc; z = ca, lúc đó ta được x + y + z = 3, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với:
9(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
⇔ (x + y + z)4 ≥ 3(xy + yz + zx)[2(x2 + y2 + z2) + xy + yz + zx]
Đặt A = x2 + y2 + z2; B = xy + yz + zx
Suy ra A + 2B = (x + y + z)2 = 9
Lúc đó ta cần chứng minh:
(A + 2B)2 ≥ 3B(2A + B) ⇔ A2 +B2 ≥ 2AB
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra lúc a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức được viết lại thành
Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ tới phép đổi biến x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức trở thành:
Đây là bất đẳng thức được chứng minh trong mục 2 với phép đối xứng hóa.
Lời giải
Đặt x = a2; y = b2; z = c2, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay 8(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ 9(x + y)(y + z)(z + x)
Hay 8xyz ≤ (x + y)(y + z)(z + x)
Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát giả thiết ta thấy có thể viết lại giả thiết thành
. Tới đây ta đặt và lúc này ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy tín hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
.
Đặt
, từ giả thiết suy ra x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Theo Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Ta cần chứng minh:
Hay x2 + y2 + z2 ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Vì x + y + z = 1, nên bất đẳng thức trên trở thành:
(x + y + z)( x2 + y2 + z2) ≥ 3(x2z + y2x + z2y)
Hay x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
x3 + xz2 ≥ 2x2z; y3 + yx2 ≥ 2 y2x; z3 + zy2 ≥ 2 z2y
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
x3 + y3 + z3 + xz2 + yx2 + zy2 ≥ 2(x2z + y2x + z2y)
Phép chứng minh hoàn thành. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 3.
Nhận xét
Bất đẳng thức trên còn được chứng minh theo cách sau
Chuyển đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
Vì x + y + z = 1 nên
. Do đó bất đẳng thức cuối cùng đúng.
Phép chứng minh hoàn thành.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức nghĩ tới đổi biến
. Lúc đó bất đẳng thức được viết lại thành:
Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng kỹ thuật thêm – bớt.
Lời giải
Đặt
. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một nhận định thân thuộc ta được:
Do đó bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta viết lại giả thiết thành
, lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến . Bất đẳng thức được viết lại thành:
Quan tâm tới giả thiết x + y + z = 1, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Vận dụng tương tự ta có lời giải như sau.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = abc suy ra
Đặt
, lúc đó ta được x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Chứng minh tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 6. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ giả thiết ta được
. Đặt , lúc đó ta có x + y + z = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Do đó ta được:
Tương tự ta có:
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc x = y = z =
hay a = b = c = 3.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải có đại lượng
, quan tâm tới phép chuyển đổi . Từ đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến.
Lời giải
Đặt
, lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c.
Câu 8. Cho các số thực a, b, c > 1 thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
Phân tích
Chính sự xuất hiện giải thiết
làm cho ta suy nghĩ tới việc sử dụng phép đổi biến .
Lời giải
Đặt
, lúc đó x; y; z ∈ (0;1) và x + y + z = 2
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c =
.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + 2 = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan tâm ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Trước hết ta chuyển đổi giả thiết thành:
Lúc đó ta nghĩ tới phép đổi biến:
Quan tâm là từ cách đổi biến đó ta được:
Bất đẳng thức được viết lại thành:
Tới đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bài toán.
Lời giải
Ta có:
Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Giả thiết được viết lại thành:
Đặt
, suy ra x+ y + z = 1.
Lúc đó ta được:
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra lúc và chỉ lúc a = b = c = 2.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Từ giả thiết ta được
, lúc đó rất tự nhiên ta nghĩ tới phép đổi biến , suy ra xy + yz + zx = 1. Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Quan tâm tới phép chuyển đổi:
Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh được bài toán.
Lời giải
Từ giả thiết a + b + c = abc suy ra
Đặt
, lúc đó giả thiết của bài toán trở thành xy + yz + zx = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Dễ thấy:
Tương tự ta được:
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Tương tự bất đẳng thức ban sơ được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c =
.[/box]
#Bất #đẳng #thức #Bunhiacopxki #Các #dạng #biểu #diễn #và #bài #tập #ứng #dụng
[/toggle]
Bạn thấy bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bất đẳng thức Bunhiacopxki | Các dạng trình diễn và bài tập ứng dụng bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Phân mục: Kiến thức chung
#Bất #đẳng #thức #Bunhiacopxki #Các #dạng #biểu #diễn #và #bài #tập #ứng #dụng
Trả lời