Bài toán tìm điểm m trong mặt phẳng sao cho MA + MB min nhỏ nhất hay MA-MB lớn nhất
Hình thức chung
Tìm điểm M trên (P) sao cho $ {{left (MA + MB right)} _ {min}} $ hoặc $ {{left | MA-MB phải |} _ {max}} $
Phương pháp giải quyết:
+) Kiểm tra vị trí tương đối của điểm A và điểm B so với mặt phẳng (P).
+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán $ {{left (MA + MB right)} _ {min}} $ phải lấy A đối xứng qua (P) thì
$ MA + MB = M {A} ‘+ MBge {A}’ B $ tương đương với lần xuất hiện $ Leftrightarrow {A} ‘, M, B $ thẳng hàng hoặc $ M = {A}’ Bcap (P) $.
Bài toán tìm $ {{left | MA-MB right |} _ {max}} $, chúng ta còn lại $ | MA-MB right | le ABCâu M $ là giao điểm của đường thẳng AB và (P).
+) Nếu A và B có các cạnh khác nhau (P) thì bài toán $ {{left | MA-MB right |} _ {max}} $ phải lấy A đối xứng qua (P) bài toán tìm $ {{left (MA + MB right)} _ {min}} $ $ Mũi tên phải $ M là giao điểm trực của đường thẳng AB và (P).
Bài tập trắc nghiệm cực trị không gian có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ $ Oxyz $, cho 2 điểm $ Aleft (-1; 3; -2 phải); Bleft (-3; 7; -18 phải) $ và mặt phẳng $ (P): 2x-y + z + 1 = 0 $. Tìm điểm M trong (P) sao cho $ MA + MB $ nhỏ nhất.
Giải thích chi tiết:
Đặt $ f = 2x-y + z + 1 = 0 $ ta có: $ fleft (A right) .fleft (B right)> 0Rightarrow $ A, B về cùng một phía của mặt phẳng (P).
Gọi $ {A} ‘$ là điểm đối xứng của A qua $ (P): 2x-y + z + 1 = 0 $$ Rightarrow A {A}’: frac {x + 1} {2} = frac {y -3} {- 1} = frac {z + 2} {1} $
Gọi $ Ileft (-1 + 2t; 3-t; -2 + t đúng) = A {A} ‘cap (P) $ suy ra $ 2 (-1 + 2t) – (3-t) -2 + t + 1 = 0 $
$ Mũi tên trái t = 1 Mũi tên phải I (1; 2; -1) Mũi tên phải A (3; 1; 0) $.
Khi đó $ MA + MB = M {A} ‘+ MBge {A}’ B $ dấu bằng $ Phím trái phải {A} ‘, M, B $ thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng $ {A} ‘Bleft {begin {array} {} x = 3 + u \ {} y = 1-u \ {} z = 3u \ end {array} right.Rightarrow M = {A}’ Bcap ( P) Mũi tên phải M (3 + u; 1-u; 3u) $
Giải $ Min (P) Mũi tên phải u = -1 Mũi tên phải M (2; 2; -3) $.
Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ $ Oxyz $ cho mặt phẳng $ (P): x-y + 2z-2 = 0 $ và 2 điểm $ Aleft (2; 3; 0 đúng); Bleft (2; -1; 2 đúng) $. Tìm điểm M trong mặt phẳng (P) sao cho $ trái | MA-MB phải | $ lớn nhất.
Giải thích chi tiết:
Kí hiệu $ f = x-y + 2z-2 = 0 $. Ta có $ fleft (A right) .fleft (B right) <0 $ nên A, B nằm ở phía bên kia của mặt phẳng (P).
Gọi $ {A} ‘$ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có: $ A {A} ‘: frac {x-2} {1} = frac {y-3} {- 1} = frac {z} {2} $
Khi đó $ I = A {A} ‘cap (P) Mũi tên phải (2 + t; 3-t; 2t) Mũi tên phải t + 2 + t-3 + 4t-2 = 0 Mũi tên phải t = frac {1} {2} $
$ Rightarrow Ileft (frac {5} {2}; frac {5} {2}; 1 right) Rightarrow {A} ‘(3; 2; 2) $
Còn lại $ | . lại MA-MB right | = left | M {A} ‘- MB right | le {A}’ B $ dấu bằng xảy ra $ Mũi tên trái {A} ‘, M, B $ căn lề.
Sau đó $ {A} ‘Bleft {begin {array} {} x = 3 + u \ {} y = 2 + 3u \ {} z = 2 \ end {array} right.Rightarrow M = {A}’ Bcap (P ) Rightarrow Mleft (frac {9} {2}; frac {13} {2}; 2 right) $.
Bài tập 3: : Trong không gian hệ tọa độ $ Oxyz $ cho điểm $ Aleft (3; 1; 0 bên phải); Bleft (-9; 4; 9 bên phải) $ và mặt phẳng (P) có phương trình $ (P): 2x-y + z + 1 = 0 $. Gọi I (a; b; c) là một điểm trong mặt phẳng (P) sao cho $ trái | IA-IB phải | $ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a + b + c bằng
MỘT. $ a + b + c = 22 $. B. $ a + b + c = -4 $. C. $ a + b + c = -13 $. D. $ a + b + c = 13 $.
Giải thích chi tiết:
Đặt $ fleft (x; y; z right) = 2x-y + z + 1 Mũi tên bên trái {begin {array} {} f ({{x} _ {A}}; {{y} _ {A}}; { {z} _ {A}}) = 6 \ {} f ({{x} _ {B}}; {{y} _ {B}}; {{z} _ {B}}) = – 12 \ end {array} right.Rightarrow f (A) .f (B) = – 72 <0 $.
Do đó, hai điểm A và B nằm về phía đối diện của mặt phẳng (P).
Gọi $ {B} ‘$ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P) $ Mũi tên phải sang trái (B {B}’ phải): frac {x + 9} {2} = frac {y-4} {- 1} = \ frac {z-9} {1} $.
Trỏ $ Hin (B {B} ‘) Mũi tên phải (2t-9; 4-t; t + 9 right) ở trái (P phải) đến 2 (2t-9) – (4-t) + t + 9 + 1 = 0Rightarrow t = 2 $
Chúng tôi còn lại $ | IA-IB phải | = trái | IA-I {B} ‘right | le {A}’ BRightarrow {{left | IA-IB right |} _ {max}} = A {B} ‘$$ Phím phải $ I là giao điểm của $ A {B}’ $ và mặt phẳng (P).
Một lần nữa $ overrightarrow {A {B} ‘} = left (-4; -1; 13 right) Rightarrow overrightarrow {{{u} _ {(A {B}’)}}} = (4; 1; -13) Mũi tên phải (A {B} ‘): frac {x-3} {4} = frac {y-1} {1} = frac {z} {- 13} $.
Trỏ $ Iin (A {B} ‘) Mũi tên phải sang trái (4t + 3; t + 1; -13t sang phải) ở trái (P phải) tới I (7; 2; -13) Mũi tên phải a + b + c = -4 $. Chọn XÓA
Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ $ Oxyz $ cho mặt phẳng (P) có phương trình $ (P): x-y + 2z + 2 = 0 $ và 2 điểm $ Aleft (0,1; -2 đúng); Bleft (2, 0; -3 đúng) $. Gọi M (a; b; c) là một điểm trong mặt phẳng (P) sao cho $ MA + MB $ là cực tiểu. Tính giá trị của T = a + b + c.
MỘT. $ T = -5 $. B. $ T = -frac {1} {5} $. C. $ T = -1 $. D. $ T = phân số {1} {5} $.
Giải thích chi tiết:
Kí hiệu $ f = x-y + 2z + 2 $ ta có $ fleft (A right) .fleft (B right)> 0Rightarrow $ nên A, B cùng phía với (P).
Gọi $ {A} ‘$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Khi đó $ MA + MB = M {A} ‘+ M {B}’ ge {A} ‘B $ dấu bằng $ Leftrightarrow {A}’, M, B $ thẳng hàng.
Phương trình $ A {A} ‘: frac {x} {4} = frac {y-1} {- 1} = frac {z + 2} {2} $. Gọi $ H = text {A {A} ‘} cap left (P right), Hleft (t; 1-t; -2 + 2t right) $
Cho $ Hin left (P right) Rightarrow t + t-1 + 4t-4 + 2 = 0Leftarrow t = frac {1} {2} Rightarrow Hleft (frac {1} {2}; frac {1} {2}; -1 phải) Phím phải {A} ‘(1; 0,0) $.
Sau đó $ {A} ‘B: left {begin {array} {} x = 1 + t \ {} y = 0 \ {} z = -3t \ end {array} right.Rightarrow M = {A}’ Bcap left (P right) Rightarrow Mleft (frac {8} {5}; 0; -frac {9} {5} right) Rightarrow a + b + c = -frac {1} {5} $. Chọn B.
Bạn thấy bài viết Bài toán tìm điểm m thuộc mặt phẳng sao cho MAMB min nhỏ nhất hoặc MA-MB lớn nhất có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về Bài toán tìm điểm m thuộc mặt phẳng sao cho MAMB min nhỏ nhất hoặc MA-MB lớn nhất bên dưới để thpttranhungdao.edu.vn có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website Trường THPT Trần Hưng Đạo
Chuyên mục: Hỏi đáp
Nguồn: thpttranhungdao.edu.vn
Trả lời